Larga historia corta, la pregunta que me estoy atascado en es como sigue:
Deje $f$ ser positivo-definida la función. Probar que si $f$ es continua en a $0$, entonces es continua en todas partes.
Aquí está la versión larga:
Decimos que una función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ es positiva definida si la matriz $A_f[\{t_1,t_2,\dots,t_n\}]$, cuyas entradas están dadas por $$ A_f[\{t_1,t_2,\dots,t_n\}]=[f(t_i-t_j)]_{i,j=1}^n $$ Es positivo semidefinite para todas las opciones de $t_1,\dots,t_n \in \mathbb{R}$. En todo el problema, estamos destinados a mostrar que $f$ tiene las siguientes propiedades:
- $f(-t) = \overline{f(t)}$
- $f(0) \in \mathbb{R}$ $f(0) \geq 0$
- $|f(t)|\leq f(0)$ todos los $t \in \mathbb{R}$
- si $f$ es continua en a $0$, entonces es continua en todas partes
Las tres primeras partes pueden ser resueltos mediante la consideración de la $2\times 2$ matriz $A_f[0,t]$ donde $t\in \mathbb{R}$ es arbitrario. Debido a $A_f[0,t]$ es Hermitian, la primera instrucción tiene. Debido a $A_f[0,t]$ debe tener no negativo de seguimiento, llegamos a la conclusión de que la segunda declaración se sostiene. Becuase $A_f[0,t]$ tiene un valor no negativo determinante, llegamos a la conclusión de que la tercera declaración, sostiene. La cuarta declaración, sin embargo, me tiene perplejo.
Como lo que yo puedo decir, que no hay más información a ser obtenida a partir de a $2\times 2$ matrices. Presumiblemente, necesito encontrar una cota superior para $|f(t) - f(t+\delta)|$ que $|f(\delta) - f(0)|$ puede hacerse arbitrariamente pequeña. Me he dado cuenta de que $\det A_f[0,t,t+\delta]$ puede ser finagled en algo parecido a $f(0)|f(t) - f(t+\delta)|^2$. Sin embargo, no es claro para mí cómo me gustaría utilizar esta para los fines deseados.
También hay una buena probabilidad de que me las he arreglado para pensar en mí mismo en un agujero, dado que una pequeña parte de un problema que me ha dado más problemas que el resto de la asignación. La cuestión afirma que este problema puede ser resuelto utilizando el hecho de que un semi-definida la matriz no negativa de la traza y el determinante, y que todos los principales submatrices tiene un no-negativo determinante.
Creo que la cubre. Si has llegado hasta aquí, gracias por su tiempo; traté de no hacer de esto una pared de texto. Cualquier útil codazos en la dirección correcta sería muy apreciado; un intento de respuesta doblemente.
