Dando la razón a cosets son iguales o distintos

Question

Sea G un grupo, H es un subgrupo de G. Deje $Hx = \{hx | h\in H\}$. Demostrar que, dado $a, b \in G$, $Ha \cap Hb = \emptyset$ o $Ha=Hb$.

Supongamos que tenemos un $y \in Ha$. Esto significa que $y=ha$ algunos $h \in H$. Ahora tenemos dos casos.
Supongamos que a=b. A continuación,$y=ha=hb$. Desde $hb \in Hb$, $y \in Hb$. Por lo tanto, $Ha\subseteq Hb$ $Hb\subseteq Ha$ Ahora supongamos $a\neq b$, entonces sé que a partir de un lexema en el libro de texto que $ha\neq hb$. Por lo tanto, $Ha \nsubseteq Hb$. Por lo tanto, $Hb \nsubseteq Ha$. Por lo tanto, $Ha \cap Hb = \emptyset$

Answer 1

Supongamos que

$k \in Ha \cap Hb; \tag 1$

entonces no debe existir $h_1, h_2 \in H$ con

$k = h_1a; \; k = h_2b; \tag 2$

así

$h_1a = h_2b, \tag 3$

de dónde

$a = h_1^{-1}h_2b, \tag 4$

lo que claramente implica

$a \in Hb, \tag 5$

y así

$Ha \subset Hb; \tag 6$

intercambio de él roles de $a$$b$, vemos que

$Hb \subset Ha, \tag 7$

así

$Ha = Hb. \tag 8$

Hemos demostrado que si $Ha$ $Hb$ tiene al menos un elemento en común, entonces son la misma. Por lo tanto

$Ha \cap Hb \ne \emptyset \Longrightarrow Ha = Hb; \tag 9$

y por contraposición,

$Ha \ne Hb \Longrightarrow Ha \cap Hb = \emptyset. \tag{10}$

Answer 2

1. $ha\neq hb$ no implica $Ha\not\subseteq Hb$, puede ser que para todos los $h\in H$, $h'\neq h$ $H$ tal que $ha = h'b$.

2. $Ha\not\subseteq Hb$ $Hb\not\subseteq Ha$ no implica $Ha\cap Hb =\emptyset$.

(Bueno, para ser justos, no, si ya sabes lo que quiero probar, pero eso sería un argumento circular. Pero, lo que quiero decir es$\{0,1\}\not\subseteq \{1,2\}$$\{1,2\}\not\subseteq \{0,1\}$, pero $\{0,1\}\cap\{1,2\} \neq \emptyset.$)

3. Premisa de que $a\neq b$ va a llevar a $Ha\cap Hb = \emptyset$ es malo. Si $b = ha$$e\neq h\in H$,$Hb = Hha = Ha$. Aviso que he utilizado otro contraejemplo en el anterior: $e\neq h\in H$, pero $He = H = Hh$.

Sugerencia: $a\sim b$ fib $ab^{-1}\in H$ es de equivalencia de relación donde la clase de equivalencia de a $a$ es derecho coset $Ha$.

Answer 3

La prueba está mal. En primer lugar, como se señaló por yanko en los comentarios, si $a=b$ de curso $Ha=Hb$. Tu error es: $ha\neq hb\implies Ha\not\subseteq Hb$. Te doy un de alguna manera trivial contraejemplo: tome $h,h'\in H$ tal que $h\neq h'$. Usted puede probar que $Hh=Hh'=H$.

Para demostrar su afirmación, tenga en cuenta que usted tiene $G=\bigcup_{x\in G}Hx$. Lo que a usted se le pide demostrar que es simplemente que $\{Hx\mid x\in G\}$ es una partición de a $G$, por lo que usted puede pensar en el $Hx$ como clases de equivalencia de la relación de equivalencia:

$$\forall x,y\in H,\,x\sim y\iff xy^{-1}\in H.$$

Así, demuestra que esta es una relación de equivalencia y que la clase de $x$$Hx$.