Demostrar que para cualquier número natural n entre $n^2$ $(n+1)^2$ existen 3 diferentes números naturales a, b, c, de modo que $a^2+b^2$ es divisible por c

Question

Demostrar que para cualquier número natural n ,se pueden encontrar 3 diferentes números naturales a, b, c, entre el$n^2$$(n+1)^2$, por lo que el $a^2+b^2$ es divisible por c.

Es fácil demostrar que esos tres números que existen, por suponer el contrario y llegar a la contradicción(es decir,"supongamos que $(n+1)^2-n^2=0$ -->$n=-1$, $-1$ no es un número natural, y así sucesivamente..."), pero la forma de mostrar la divisibilidad?

(La tarea es a partir de 1998 la Ciudad de San Petersburgo Olimpiada Matemática)

Answer 1

Esto parece funcionar con la más estricta de la lectura del problema.

Vamos $a = n^2 + 2$, $b=n^2+n+1$ y $c=n^2+1$.

Si $n \geq 2$$n^2 < c < a < b < (n+1)^2$. En particular, $a,b,c$ son distintos.

Por otra parte $$a^2+b^2 = (n^2+2)^2 + (n^2 + n + 1)^2 = (2n(n+1)+5)(n^2+1).$$

Por lo $c | a^2 + b^2$.

He encontrado esto buscando en triples $(a,b,c)$ con la propiedad requerida para valores pequeños de a $n$ y notar un patrón. Parece ser que hay un montón de otras triples que también tienen la propiedad; no estoy seguro de si estas pueden ser parametrizados muy bien.

Answer 2

Sorprendentemente no parece haber otra respuesta a la más estricta de la lectura del problema.

Vamos $a=(n^2+n)$, $b=(n^2+n+2)$ y $c=(n^2+1)$

y como con @ARoberts Solución si $n\ge 2$ $n^2 < c < a < b < (n+1)^2$

tenemos $a^2+b^2 = (n^2+n)^2 + (n^2 + n + 2)^2 = 2(n^2+1)(n^2+2n+2)$.

Así que de nuevo $c | a^2 + b^2$

Answer 3

Desde $n^2+2n<(n+1)^2$ y desde $n^2$ está incluido, una respuesta obvia es

$$\frac{\left(n^2+n \right)^2 +\left(n^2+2n \right)^2 }{n^2}$$

La exposición prolongada

Desde $n^2+2n<(n+1)^2=n^2+2n+1$, vamos $a=(n^2+n)$, $b=(n^2+2n)$ y $c=n^2$ $$\frac{a^2+b^2}{c}=\frac{\left(n^2+n \right)^2 +\left(n^2+2n \right)^2 }{n^2}$$

$n^2$ factores que están fuera del numerador y tenemos $$\frac{a^2+b^2}{c}=\frac{n^2\left(\left(n+1 \right)^2 +\left(n+2 \right)^2\right) }{n^2}=\left(n+1 \right)^2 +\left(n+2 \right)^2$$

Desde ahora pensamos en $n^2$ no está incluido en esta respuesta simple es impedido y la izquierda sólo para referencia.