Un campo magnético puede ser descrito como un mapeo $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$. Por lo tanto, es una función, y al parecer puede ser descrito como un elemento en un espacio funcional. Hay algunos en particular (tal vez Hilbert) el espacio que los campos magnéticos que pertenece?
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Tobias
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$\def\vA{{\vec A}}\def\vB{\vec{B}}\def\vH{{\vec H}}\def\vS{{\vec S}}\def\vpsi{{\vec\psi}}\def\div{{\rm div}}\def\grad{{\rm grad}}\def\rot{{\rm rot}}\def\rmr{{\rm r}}\def\pd{\partial}\def\nR{{\mathbb{R}}}\def\ltag#1{\tag{#1}\label{#1}}$ Depende fuertemente de lo que se desea modelar. Si desea incluir los dipolos en el modelo debe cambiar a la distribución de los espacios. Pero, tengamos en un subespacio de $L^2(\Omega)$.
El espacio de $L^2(\Omega)$ es demasiado grande para dar las ecuaciones como \begin{align} \div\vB &= 0. \end{align} sentido. Por otro lado, a menudo se tiene discontinuidades de $\mu_\rmr$ en algunas capas límite. Allí la tangente componente de $\vB$ puede ser discontinua y $\div$ en el clásico de contexto no tiene sentido.
Por lo tanto, uno debe cambiar a la generalizada derivados. La integración por partes de la regla \begin{align} \int_{\Omega} \psi\cdot \div(\vB) d V &= \int_{\pd\Omega} \psi\; \vB\cdot d\vA - \int_{\Omega} \grad(\psi) \cdot \vB dV\ltag{weakDiff} \end{align} se utiliza para transferir la diferenciación de $\vB$ a funciones de prueba de $\psi$ y uno de ellos utiliza la mano derecha para definir la generalizada $\div$ operador.
Si hay un $L^2$ función "$b$" de manera tal que \begin{align} \int_{\Omega} \psi b\; d V &= \int_{\pd\Omega} \psi\; \vB\cdot d\vA - \int_{\Omega} \grad(\psi) \cdot \vB dV \end{align} para todos los lisas $\psi$ con delimitada apoyo en $\bar\Omega$, a continuación, definimos la generalización de la divergencia operador para$\vB$$\div\vB:=b$, y decimos que para $\vB$ existe el débil de la divergencia en $\Omega$. El espacio de $H(\div,\Omega)$ es el conjunto de todos los $L^2$-funciones en $\Omega$ para lo cual existe la débil divergencia.
Tenga en cuenta que la superficie de la integral en \ref{weakDiff} deben ser tratados de manera especial, ya que la superficie es en realidad un conjunto de medida cero en $\nR^3$. Si sólo iba a utilizar$L^2(\bar \Omega)$, entonces podríamos modificar $\vB$ $\partial\Omega$ arbitrariamente. Por lo tanto, el $\vB$-campo en la frontera es en realidad debe ser entendida como la traza del campo en el límite. Para el seguimiento de existir existen restricciones adicionales sobre el límite de $\Omega$ (a trozos $C^1$, los bordes no demasiado "fuerte"). Por lo tanto, no todos los dominios $\Omega$ son realmente apropiados para el modelado de los campos magnéticos.
Tenga en cuenta, que la situación es similar para ley de Ampere \begin{align} \rot\vH = \vS \end{align} donde tenemos $\rot\vH$. La componente normal de la intensidad de campo puede ser discontinua en las capas límite. En este caso se utiliza la ecuación \begin{align} \int_{\Omega}\vpsi\cdot \rot(\vH)dV = \int_{\pd\Omega}\vpsi\cdot(d\vA\times\vH) + \int_{\Omega} \vH\cdot \rot(\vpsi) dV \end{align} para definir una generalizada curl operador $\rot\vH$. El conjunto de campos para que $\rot\vH\in L^2(\Omega)$ es nombrado $H(\rot,\Omega)$.
Curiosamente, $\vB$ $\vH$ viven en diferentes espacios y $\mu$ debe mediar entre estos espacios de $\mu:\vH\in H(\rot,\Omega)\mapsto \vB=(\mu\vH)\in H(\div,\Omega)$.
