Versiones sin base y no conmutativas del problema de dos polinomios sobre el anillo (teorema de McCoy, etc.)

Question

Hay un lugar canónica montón de ejercicios de álgebra conmutativa, que tienden a venir una y otra vez en las matemáticas.stackexchange: recientemente en #948010 y #83121, antes en #227787 y #413788, y en muchos otros lugares, tales como Messing/Reiner arXiv:1209.6307v2. Probablemente el más conocido apariencia es como el Ejercicio 2 en el Capítulo 1 de Atiyah/Macdonald "Introducción al Álgebra Conmutativa". Permítanme parafrasear que el ejercicio:

Deje $A$ ser un anillo conmutativo, y deje $A\left[x\right]$ ser el anillo de polinomios en una variable $x$$A$. Deje $f \in A\left[x\right]$.

(a) Mostrar que $f$ es una unidad en el anillo de $A\left[x\right]$ si y sólo si el coeficiente constante de $f$ es una unidad y todos los demás coeficientes son nilpotent.

(b) Mostrar que el $f$ es nilpotent si y sólo si todos los coeficientes de $f$ son nilpotent.

(c) Mostrar que el $f$ es un no-cero-divisor en $A\left[x\right]$ si y sólo si todos los $a \in A$ satisfacción $af = 0$ satisface $a = 0$. (Decimos que un elemento $u$ de un anillo conmutativo $B$ es un no-cero-divisor si y sólo si todos los $v \in B$ satisfacción $uv = 0$ satisface $v = 0$.)

(d) decimos que un polinomio en $A\left[x\right]$ es primitiva si y sólo si $1$ $A$- combinación lineal de coeficientes. Demostrar que para cualquier par de polinomios $f$$g$$A\left[x\right]$, el producto $fg$ es primitiva si y sólo si $f$ $g$ son primitivas.

Aviso que lo que yo llamo (c) es el contrapositivo de Atiyah/Macdonald Ejercicio 2 (c), como la noción de un no-cero-divisor es el correcto de manera constructiva para formalizar las declaraciones sobre cero-divisores.

El ejercicio es seguido por un Ejercicio de 3 que pide la generalización de estos resultados a multivariante polinomio anillos de $A\left[x_1, x_2, ..., x_n\right]$; creo que estos se pueden hacer por inducción sobre $n$ (aunque realmente no los he comprobado).

Soluciones del problema dado en la literatura, generalmente no son constructivas de por sí, pero a menudo puede ser reescrita en la construcción de términos.

$\newcommand\Sym{\operatorname{Sym}}$Una pregunta que me hice a mí mismo hace mucho tiempo, pero nunca tuvo el tiempo para pensar seriamente, es la siguiente: Un polinomio anillo es un caso particular de un álgebra simétrica. ¿Qué sucede si nos cegamos generalizar el ejercicio simétricos álgebras en general?

Deje $A$ ser un anillo conmutativo, y deje $V$ $A$- módulo. Deje $\Sym V$ denotar el álgebra simétrica de $V$$A$. Deje $f \in \Sym V$.

(Sa) Probar o refutar que $f$ es una unidad en el anillo de $\Sym V$ si y sólo si el $0$-th homogénea de los componentes de $f$ es una unidad y todos los demás componentes homogéneos son nilpotent.

(Sb) Demostrar que $f$ es nilpotent si y sólo si todos los componentes homogéneos de $f$ son nilpotent. [Esta es la verdad por un fácil de inducción argumento.]

(Sc) Probar o refutar que $f$ es un no-cero-divisor en $\Sym V$ si y sólo si todos los $a \in A$ satisfacción $af = 0$ satisface $a = 0$.

(Sd) decimos que un elemento $h$ $\Sym V$ es primitiva si y sólo si $F\left(h\right) = 1$ algunos $F \in \left(\Sym V\right)^\ast$ (lineal dual). Probar o refutar que para cualquier par de elementos de a$f$$g$$\Sym V$, el producto $fg$ es primitiva si y sólo si $f$ $g$ son primitivas.

Estas generalizaciones del polinomio-anillo de ejercicio no son los únicos, el derecho o la canónica. Tuve que generalizar la noción de un coeficiente diferente para (Sa) y para (Sd) para no conseguir algo que obviamente estúpido, y yo no iba a ser totalmente sorprendido si el resultado es incorrecto.

Otra dirección para generalizar las cosas es que no conmutativa de polinomios. No hay ninguna diferencia entre conmutativa polinomio anillos de $A\left[x\right]$ y no conmutativa polinomio anillos de $A\left<x\right>$ en una variable, por lo que el estado de la cuestión en varias variables:

Deje $A$ ser un anillo conmutativo, y deje $n \in \mathbb{N}$. Deje $A\left<x_1, x_2, ..., x_n\right>$ ser el anillo de no conmutativa polinomios en las variables$x_1, x_2, ..., x_n$$A$. (Este es el monoid anillo de la libre monoid generado por $x_1, x_2, ..., x_n$.) Deje $f \in A\left<x_1, x_2, ..., x_n\right>$.

(Na) Probar o refutar que $f$ es una unidad en el anillo de $A\left<x_1, x_2, ..., x_n\right>$ si y sólo si el coeficiente constante de $f$ es una unidad en $A$ y todos los demás coeficientes son nilpotent.

(Nb) Probar o refutar que $f$ es nilpotent si y sólo si todos los coeficientes de $f$ son nilpotent.

(Nc) Probar o refutar que $f$ es una izquierda que no sea cero-divisor en $A\left<x_1, x_2, ..., x_n\right>$ si y sólo si todos los $a \in A$ satisfacción $af = 0$ satisface $a = 0$. (Decimos que un elemento $u$ de un anillo de $B$ es una izquierda que no sea cero-divisor si y sólo si todos los $v \in B$ satisfacción $uv = 0$ satisface $v = 0$.)

(Nd) decimos que no conmutativa polinomio en $A\left<x_1, x_2, ..., x_n\right>$ es primitiva si y sólo si $1$ $A$- combinación lineal de coeficientes. Probar o refutar que para cualquiera de los dos no conmutativa polinomios $f$$g$$A\left<x_1, x_2, ..., x_n\right>$, el producto $fg$ es primitiva si y sólo si $f$ $g$ son primitivas.

Finalmente, los dos generalizaciones pueden ser combinados en uno que se refiere el tensor de álgebra. (Esto no es para decir que va a suponer la simétrica-álgebra versión como un corolario.) Voy a dejar que indica las conjeturas del lector, ya que este post es bastante largo.

Answer 1

(Sa) y (Sb) puede ser probado en un aún más generales de configuración: arbitrario conmutativa $\mathbb{N}$-graduada de anillos.

(Sa) En cualquier anillo conmutativo, elementos de la forma "unidad + nilpotent" son unidades. Supongamos ahora que $A$ es un conmutativa $\mathbb{N}$-graduada de anillo y deje $a \in A$ ser una unidad. Escribir $a=\sum_{i \geq 0} a_i$$a_i \in A_i$, y también escribir $a^{-1}=\sum_{i \geq 0} b_i$$b_i \in A_i$. Suponga $n$ es maximal con $a_n \neq 0$ $m$ es maximal con $b_m \neq 0$. A continuación, llegamos $a_n b_m = 0$ observando grado $n+m$, e $a_{n-1} b_m + a_n b_{m-1}=0$ observando grado $n+m-1$. Esto implica $a_n^2 b_{m-1}=0$. A continuación, examinando el grado $n+m-2$, nos encontramos con $a_n^3 b_{m-2}=0$, etc. Finalmente llegamos $a_n^{m+1} b_0=0$. Pero desde $a_0 b_0=1$ observando grado $0$, obtenemos $a_n^{m+1}=0$, es decir, $a_n$ es nilpotent. A continuación, $a-a_n$ es una unidad, demasiado, y podemos repetir el argumento y ver que $a_1,\dotsc,a_n$ son nilpotent.

(Sb) Deje $A$ ser un conmutativa $\mathbb{N}$-graduada de anillo y deje $a \in A$ ser nilpotent. Escribir $a=a_s+a_{s+1}+\dotsc$$a_i \in A_i$. Elija algunas de $k \geq 0$$a^k=0$. A continuación, $a_s^k=0$ ya que este es el más bajo homogénea de los componentes de $a^k$. Desde nilpotent elementos forman un subgrupo de ($*$), se deduce que el $a_{s+1}+\dotsc$ es nilpotent. Por inducción, vemos que todos los $a_i$ son nilpotent. Lo contrario también es cierto, de nuevo utilizando ($*$).

Como para (Sc), he demostrado aquí que cada divisor de cero de un anillo graduado $A$ (como arriba) es asesinado por algunos homogénea elemento $\neq 0$. Ahora si $A=\mathrm{Sym}(V)$, este elemento tiene la forma $v_1 \cdot \dotsc \cdot v_n$ algunos $v_i \in V$. Pero no podemos hacer más que eso. Hay no trivial módulos de $V$ $V \otimes V = 0$ y, por tanto,$\mathrm{Sym}^2(V)=0$. Entonces cualquier $v \in V$ es un divisor de cero en a $\mathrm{Sym}(V)$, pero no tiene que ser asesinado por algunos $0 \neq a \in A$.