La función de Green para el problema de Yamabe.

Question

Actualmente estoy leyendo el libro sobre el problema de Yamabe por Lee y Parker, y estoy buscando una referencia para el Teorema 2.8.

Teorema 2.8 (Existencia de la Función de Green).

Supongamos $M$ es un compacto de Riemann colector de dimensión $n\ge 3$, e $h$ es estrictamente positiva suave de la función en $M$. Para cada una de las $P\in M$, existe una única función suave $\Gamma_P$$M\setminus \{P\}$, llama la función de Green para$\Delta + h$$P$, de tal manera que $(\Delta + h)\Gamma_P = \delta_P$ en la distribución sentido, donde $\delta_P$ es la medida de Dirac en $P$.

¿Alguien sabe dónde podría encontrar acerca de la existencia de resultados para las funciones de Green (en especial este)? Gracias!

Answer 1

Lo sentimos, pero no fueron más explícitos acerca de dar referencias. No he venido para arriba con una buena referencia para un explícito prueba de nuestro Teorema 2.8; pero aquí hay tres sugerencias para la construcción de su propia prueba.

1. Siguientes Henry Horton sugerencia, puede adaptar la prueba en Aubin del Análisis no Lineal en los Colectores para este caso.
2. Como Tom Parker y me comentó después de la prueba del Teorema 6.5 en nuestro papel, que la prueba puede ser adaptado para demostrar la existencia de la función de Green, si ya has demostrado que $\Delta+h$ es un isomorfismo entre apropiado espacios de Sobolev: en Primer lugar, utilice el procedimiento de la prueba del Teorema 6.5 para la construcción de una aproximación a la función de Green de la forma $\Gamma_0 = r^{2-n}(1+\bar\psi)$; a continuación, vamos a $f_0 = (\Delta+h)\Gamma_0$ y tenga en cuenta que $f_0$ es en cierto espacio de Sobolev en el que $(\Delta+h)^{-1}$ existe. La función de Green es $\Gamma_P = \Gamma_0 - (\Delta + h)^{-1}(f_0)$.
3. O usted puede utilizar el Schwarz núcleo teorema de observar que $(\Delta+h)^{-1}$ tiene una integral kernel $K$, lo cual es una distribución en $M\times M$. Elíptica regularidad muestra que es suave en el complemento de la diagonal. La función de Green es $\Gamma_P(Q) = K(P,Q)$.

Espero que esto sea útil.