¿Es estable el punto prometido por Borsuk-Ulam bajo la perturbación del mapa?

Question

El teorema de Borsuk-Ulam dice que, dado un mapa continuo $f: S^n \to \Bbb R^n$ Hay un punto en el que $x \in S^n$ con $f(x)=f(-x)$ . Por supuesto, puede haber muchos puntos de este tipo (tal vez $f$ es constante). Pero todavía me gustaría demostrar que algún punto "equivariante" es estable en el siguiente sentido.

Empezamos con un mapa $\varphi: X \times S^n \to \Bbb R^n$ , $X$ algún colector compacto. Pensamos en esto como un familia que varía continuamente de mapas $\varphi_x: S^n \to \Bbb R^n$ dado por $\varphi_x(p) = \varphi(x,p)$ . El teorema de Borsuk-Ulam garantiza que existe algún punto $p_x$ con $\varphi_x(p_x) = \varphi_x(-p_x)$ .

Lo que me gustaría saber es: ¿hay siempre una función continua $\psi: X \to S^n$ , de tal manera que $\varphi_x(\psi(x)) = \varphi_x(-\psi(x))$ ? (Esto debería llamarse estabilidad del punto equivariante porque dado un mapa $\varphi_x$ bajo una leve perturbación de $\varphi_x$ , todavía podemos encontrar dos puntos equivariantes que estén cerca el uno del otro). Dicho de otra manera, dada una familia continua de mapas $S^n \to \Bbb R^n$ ¿puedo elegir continuamente un punto equivariante?

Sería bueno probar esto al principio para $X = I$ . Si uno puede hacer eso, y demostrar una versión relativa del teorema para $D^n$ en relación con su límite (incluyendo $n=1$ ), se puede demostrar para todos los complejos CW finitos. Tiendo a pensar que será cierto siempre que sea cierto para $X = I$ . Pero parece que no puedo hacer ningún progreso en este caso.

Answer 1

Como se ha dicho, la respuesta es no. Considere el caso de $n=1$ para que los mapas $f: S^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ son simplemente mapas $f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}$ para lo cual $f(0) = f(2\pi)$ y el teorema de Borsuk-Ulam dice que para cada mapa continuo $f$ existe $\theta \in [0, 2\pi)$ tal que $f(\theta) = f(\theta+\pi)$ .

Dejemos que $X = [0,1]$ y considerar $\varphi: [0,1] \times [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}$ dado por $$\varphi(t,\theta) = t(1-t) \phi(\theta),$$ donde $\phi: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}$ es compatible con $[0, \pi]$ y definido en su soporte por $$\phi(\theta) = |\theta-\pi/2|-\pi/2 \text{ (for }0 \le \theta \le \pi).$$ El gráfico de $\phi$ viene dada por

Observe que $\varphi : [0,1] \times [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}$ es continua y de hecho define una homotopía de la constante $0$ a sí mismo. Además, $$\{ (t, \theta) \in [0,1] \times [0,2\pi] : \varphi(t,\theta) = \varphi(t,\theta + \pi) \} =\big(\{0,1\}\times[0, 2\pi]\big) \cup\big([0,1] \times \{0, \pi, 2\pi\}\big).$$ Ahora, por supuesto, podemos elegir continuamente un punto equivariante para $\varphi$ . A saber, tomar $\psi :[0,1] \rightarrow [0,2\pi]$ para ser la constante $0$ (o $\pi$ o $2\pi$ ).

Sin embargo, consideremos lo que ocurre si traducimos $\phi$ sur $\theta$ y concatenar la homotopía resultante $\hat{\varphi}$ con la homotopía $\varphi$ arriba. Explícitamente, considere $\Phi : [0,1] \times [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $$\Phi(t,\theta) = \varphi(2t, \theta), \text{ if }0 \le t \le 1/2 \text{, and} $$ $$\Phi(t,\theta) = \varphi(2t-1, \theta-\pi/2), \text{ if }1/2 \le t \le 1.$$ Ahora, los puntos equivariantes para esta familia son $$\{ (t, \theta) \in [0,1] \times [0,2\pi] : \Phi(t,\theta) = \Phi(t,\theta + \pi) \} =\big(\{0,1/2,1\}\times[0, 2\pi]\big) \cup\big([0,1/2] \times \{0, \pi, 2\pi\}\big) \cup \big( [1/2,1] \times\{\pi/2, 3\pi/2\}\big), \text{ which is pictured as}$$

Se deduce que no existe ninguna función $\Psi :[0,1] \rightarrow [0,2\pi]$ tal que $\Psi(t)$ es un punto equivariante para todo $t$ y $\Psi$ es continua en $t=1/2$ .

Además, observaré que, aunque este ejemplo muestra que es imposible elegir continuamente puntos equivariantes en una vecindad de $t=1/2 \in [0,1]$ es posible elegir continuamente puntos equivariantes en una "vecindad unilateral" de $t=1/2$ . Sin embargo, espero que incluso esto sea imposible en general y que se pueda obtener un contraejemplo concatenando infinitas $\Phi(t, \theta)$ que están convenientemente reescalados.