Topología y funciones analíticas

Question

Hay una topología T en el conjunto de los números complejos tales que la clase de T-funciones continuas y la clase de funciones analíticas que coinciden.

Answer 1

Infinitamente de funciones diferenciables en $\mathbb{R}$, no hay tal topología $T$:

Si hay, como rohit ha señalado, debido a la bicontinuity de $ax+b$, traslaciones y dilataciones de abrir los conjuntos estarán abiertas. Si $U\T$ de $U$ es acotado, entonces podemos construir la topología usual en $\mathbb{R}$ de $U$ (ver rohit del comentario)

Ahora, vamos a $V \T$ tal que $V\neq \mathbb{R}$ (wlog, se asume que $0\noen V$). A continuación, tomar cualquier $f \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})$. Ahora, $f^{-1} (V)$ es acotada.

De esto se sigue que cualquier topología de $T$ es más fina que la topología usual. Pero, como Berci, dijo, en la topología usual, pegar no funciona, en general, para funciones diferenciables. (Tomar $x$ en $[0,\infty)$ y $x$ en $(-\infty,0]$)

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Edit: Como NielsDiepeveen señaló, mi anterior respuesta (sobre el caso complejo) estaba mal.

Answer 2

Parece difícil conjugación-variante. Cualquier conjunto que puede ser construido a partir de algún conjunto de la totalidad de funciones (sin utilizar complejos conjugación) tiene su conjugado edificable mediante la conjugación de los coeficientes de las funciones y de todos los parámetros en la construcción. Pero tenemos $\bar{z}$ para ser discontinua y $z$ continuo.