Leyendo el libro de Diophantus uno puede ser llevado a considerar las curvas como:
$y^2=x^3+1$ , $y^2=x^3-1$ , $y^2=x^3-2$ ,
las dos primeras son fáciles (después de calcular unas ocho curvas a ser resueltas bajo ciertas condiciones, se pueden derivar directamente los rangos) de ser resueltas, mientras que la última, aunque simple para ser resuelta por alguna consideración elemental de factorización de enteros algebraicos, está actualmente más allá de mi habilidad, ya que mi conocimiento sobre el tema está hasta ahora limitado a alguna lectura del libro Puntos racionales en las curvas elípticas de Silverman y Tate, donde no investigó el caso en el que el polinomio no tiene visible puntos racionales.
Por el teorema de Mordell se puede determinar su estructura de puntos racionales, si el rango está a mano. Así que, de acuerdo con mi imaginación, si se ofrecieran algunas pistas sobre cómo calcular rangos de curvas elípticas de este tipo, sería ciertamente apreciado.
Gracias de antemano.
Respuesta
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Dado su interés en la ecuación de Mordell, debería comprar o pedir prestado Ecuaciones de la Diofantina de Mordell, luego la segunda edición de Un curso de teoría de números por H. E. Rose, ver AMAZONAS
Rose discute la ecuación que comienza en la página 286, y luego da una tabla de $k$ con $ -50 \leq k \leq 50$ para el que hay soluciones integrales, una segunda tabla para el que hay soluciones racionales. Las tablas están copiadas de J. W. S. Cassels, Las soluciones racionales de la ecuación de la diofantina $y^2 = x^3 - D.$ Acta Aritmética, volumen 82 (1950) páginas 243-273.
Aparte de eso, vas a tener que estudiar a Silverman y Tate con más cuidado que hasta ahora. Por lo que puedo ver, toda la maquinaria necesaria está presente. Aún así, compruebe las cuatro páginas de la Bibliografía, tal vez prefiera algo más.
