Ninguna función continua no negativa en $[a,b]$ tal que $\int_a^b f(t)dt=1, \int_a^b tf(t)dt=c, \int_a^b t^2f(t)dt=c^2$ para $c\in\mathbb{R}$ .

Question

Demuestre que no existe ninguna función continua no negativa $f$ definido en el intervalo $[a,b]$ tal que satisfaga las siguientes condiciones: $$\int_a^b f(t)dt=1 \quad \int_a^b tf(t)dt = c \quad \int_a^b t^2f(t)dt = c^2,$$ para algunos $c\in\mathbb{R}$ .

Me han dado la pista de que tengo que utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, y estoy familiarizado con Cauchy-Schwarz, sólo que no veo cómo aplicarlo a este problema. La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que si $u$ y $v$ son elementos de un espacio de producto interior entonces, $\| \langle u,v \rangle \| \leq \| u \| \| v \|$ .

Así que supongo que aquí tengo el espacio producto interno de $C([a,b])$ funciones continuas sobre $[a,b]$ , y tengo que $$\langle f, 1 \rangle = 1 \quad \langle f,t\rangle = c \quad \langle f,t^2 \rangle = c^2$$ Pero no sé cómo recomponerlo. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Supongo que $a \neq b$ . Entonces, \begin{align*} |c| &= \left|\int_a^b tf(t) dt\right| \\ &= \left|\int_a^b t \sqrt{f(t)} \sqrt{f(t)} dt\right| \\ &\le \left(\int_a^b t^2 f(t) dt\right)^{1/2}\left(\int_a^b f(t) dt\right)^{1/2} \\ &= (c^2)^{1/2}\cdot 1^{1/2} \\ &= |c| \end{align*} Por supuesto, la igualdad debe mantenerse, de lo contrario tenemos una contradicción. La condición de igualdad en Cauchy-Schwarz es cuando $t \sqrt{f(t)} \propto \sqrt{f(t)}$ o $t \propto 1$ lo que es imposible para $t \in [a, b]$ .

Answer 2

Pista: Compruebe que $$ \langle u,v\rangle_f:=\int_a^b u(t)v(t)f(t)dt \quad \text{for all $ u,v en C([a,b]) $}$$ define un producto interior. Entonces usa que por suposición $$ \langle 1,t\rangle_f ^2 = \langle 1,1\rangle_f \langle t,t\rangle_f.$$ ¿Qué sabes del caso en que se cumple la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz?