¿Cómo debemos pensar en el conmutador de dos permutaciones?

Question

Tengo un concepto intuitivo bastante bueno de lo que es el conjugado de $x$ con $y$ lo hace: $yxy^{-1}$ . Aplica la transformación $y$ a la transformación $x$ " y no al conjunto subyacente. Por ejemplo, si $y$ es una rotación de 45 grados del plano, y $x$ es la reflexión a lo largo del eje vertical, entonces el conjugado de $x$ con $y$ te dará una reflexión rotada, es decir, una reflexión a lo largo de la diagonal. (Por lo tanto, el $y$ -la operación de conjugación gira la operación $x$ en sí mismo, en lugar del plano en el que $x$ está actuando).

No tengo una comprensión intuitiva similar de lo que hace el conmutador en un grupo de permutación. He revisado varios ejemplos y no he podido encontrar el patrón común. ¿Existe un concepto intuitivo similar de lo que hace el conmutador?

Answer 1

El conmutador de dos transformaciones $A$ y $B$ representa la diferencia entre la aplicación de la primera $A$ entonces $B$ y primero $B$ entonces $A$ .

En los espacios vectoriales lineales es bastante fácil de seguir. Imagina que tienes un vector $v$ y dos operadores lineales $A$ y $B$ . Entonces, el conmutador $[A,B]$ representa la operación que hay que realizar sobre el vector $v$ de manera que al aplicar $BA$ al vector transformado equivale a aplicar $AB$ al vector original; considere los vectores transformados obtenidos aplicando primero el conmutador al vector $v$ $$ \hat v = [A,B] v$$

Entonces, aplicando $BA$ al vector transformado da $$\begin{aligned} z& = BA \hat v \\ &= BA [A,B] v \\ &= BA (A^{-1} B^{-1}A B) v \\& = AB v. \end{aligned}$$

En otras palabras, el conmutador representa la operación que hay que hacer en $AB$ para convertirlo en $BA$ : $$BA = AB[A,B].$$

Parafraseando, el conmutador representa la transformación tal que $xy$ en el conjunto transformado actúa como $yx$ en el conjunto subyacente .