Demostrando$G \ast_A$ finamente presentado$\Leftrightarrow$$A$ finamente generado

Question

Yo quiero probar el HNN extensión de $G \ast_A$ es finitely presentó $\Leftrightarrow$ $A$ es finitely generado, dado que $G$ es un finitely presentada grupo, decir $G = \langle S \mid R \rangle$

El $\Leftarrow$ dirección es fácil creo yo, ya que si $A = \langle T \rangle$ para $T$ finito, luego de un número finito de presentación para $G \ast_A$ está dado por $\langle S \cup \{ t \} \mid R \cup \{ tat^{-1} = \theta(a) : a \in T \} \rangle$ donde $\theta : A \hookrightarrow G$ es el monomorphism la definición de los HNN extensión.

La otra dirección es donde tengo el problema. Si supongo que $G \ast_A = \langle T \mid R' \rangle$ es finitely generado, entonces, sé que $G \leq G \ast_A$, para que yo pueda escribir la $S$ generación $G$ en la $T$ la generación de los HNN extensión y agregar en el $R$ relaciones: $G \ast_A = \langle S \cup T \mid R \cup R' \cup S_= \rangle$ donde $S_=$ son las relaciones de la definición de $S$ en términos de la $T$. Este es ahora un número finito de presentación en la que se ve un poco similar a la que probablemente sea la infinita presentación de $\langle S \cup \{ t \} \mid R \cup \{ tat^{-1} = \theta(a) : a \in A \} \rangle$. Siento que debería hacer algo que involucre Tietze transformaciones, pero no estoy seguro de qué.

Cualquier ayuda que demuestra esta sería apreciada.

He visto algunas referencias a este teorema en este sitio, por ejemplo, Ejemplos de no-finitely presentado los grupos, así que espero es bien conocida y fácil de probar, he no visto cómo hacerlo.

Answer 1

Si el grupo $H = \langle S \cup \{t\} \mid R \cup \{tat^{-1}=\theta(a) : a \in A\})$ fue finitely que se presentan, entonces sería presentado usando un subconjunto finito de la relación establecida en el infinito de la presentación. Es decir, tendríamos $H = \langle S \cup \{t\} \mid R \cup \{tat^{-1}=\theta(a) : a \in X\})$ para algún subconjunto finito $X$ de $A$.

Pero esto presenta el grupo $G_{*B}$, donde $B = \langle X \rangle$. Así que si $A$ no es finitely generado, entonces, $B$ es un buen subgrupo de $A$.

Pero entonces, por Britton del Lexema en HNN extensiones, si elegimos $a \in A \setminus B$, entonces el elemento $tat^{-1}\theta(a)^{-1}$ de $G_{*B}$ contiene ningún apuro, y por lo tanto no es igual a la identidad. Pero es igual a la identidad en $G_{*A}$, contradicción.