Yo reclamo que la máxima dimensión de un subespacio de singular matrices de $M_n(\mathbb{R})$ es $n^2 - n$.
Este número se logra ,por ejemplo, para el subespacio de las matrices de tener la primera fila igual al vector cero.
Ahora suponga una contradicción que hubo un subespacio $S$ de singular matrices de dimensión $n^2 - n + 1$.
En primer lugar, debe ser un elemento de $S$ tener un valor distinto de cero en la entrada de la primera fila y tener todas las filas de $2$ a $n$ igual a $0$, por la dimensión de las consideraciones. Para ver por qué esto es cierto, dejar que Un ser el subespacio de las matrices de la forma:
\begin{bmatrix}
* & * & * & \dots & * \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
A continuación, $dim(A \cap S) = dim(A) + dim(S) - dim(A \cup S) \geq n + n^2 - n + 1 - n^2 \geq 1$ así que debe ser distinto de cero de la matriz $X$ en $A \cap S$.
Por lo tanto $X$ parece:
\begin{bmatrix}
a_{11} & * & * & \dots & * \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
WLOG asumen $a_{11} \neq 0$ (de lo contrario permutar los elementos de la primera fila y aplicar por debajo de verbatim).
Consideremos a continuación el subespacio $M$ de $M_n(\mathbb{R})$ de las matrices de la forma:
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & * & * & * & * \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & * & * & * & *
\end{bmatrix}
(es como una incrustación de $M_{n-1}(\mathbb{R})$ a $M_n(\mathbb{R})$).
Ahora $dim(S \cap M) = dim(S) + dim(M) - dim(S + M) \geq n^2-n+1 + (n-1)^2 - n^2 = n^2 - 3n + 2 > (n-1)^2 -(n-1) + 1$ así que por nuestra hipótesis de inducción se sigue que $S \cap M$ contiene una matriz de $Y$ que cuando se ve como un $(n-1)$ por $(n-1)$ matriz es invertible (y también Y tiene la primera fila igual a $0$ en $M_n(\mathbb{R})$. Pero, a continuación, $X+Y$ tendrá un determinante distinto de cero, la contradicción.
También, después de resolver este problema me encontré con un problema más general(que implica aquí Max dimensión de un subespacio de singular $n\times n$ matrices
