Encuentra$n^2+58n$, de manera que sea un número cuadrado

Question

Tengo el siguiente problema. Encuentre todos los números naturales n, de modo que $n^2+58n$ sea un número cuadrado.

Mi primera idea fue, $n^2+58n=m^2$

$58n=(m-n)(m+n)$ tal que $m-n$ o $m+n$ debe ser divisible por 29, pero esto no lleva a nada.

Answer 1

Otra sugerencia. Usted puede mirar el problema como una ecuación cuadrática $$x^2+58x-m^2=0$$ con $\Delta=58^2+4m^2$ e (excluyendo negativo $n$'s) $$n=\frac{-58+2\sqrt{29^2+m^2}}{2}=-29+\sqrt{29^2+m^2}$$ lo que se reduce a encontrar los enteros de las formas $29^2+m^2=q^2$, que es más fácil ya que el $29$ es un primer y $$29^2=(q-m)(q+m)$$ permite los siguientes casos

• $q-m=29$ e $q+m=29$
• $q-m=1$ e $q+m=29^2$
• $q-m=29^2$ e $q+m=1$

Answer 2

Sugerencia: escriba su ecuación en la forma $$(n+29)^2=x^2+29^2$ $

Answer 3

Sugerencia: \begin{eqnarray}k^2 &=& n^2+58n \\ &=& \underbrace{n^2+2\cdot 29n+\color{red}{29^2}}\color{red}{-29^2} \\ &=& (n+29)^2-29^2\end {eqnarray}

entonces $$ 29^2 = (n+29)^2-k^2 $$ $$29^2= (n+29+k)(n+29-k)$ $

Answer 4

$(n+29)^2=x^2+29^2$, así que hay un triple pitagórico $(A,29,B)$, así que tienes $$29=m^2-n^2\Rightarrow (m,n)=(15,14)$$ Then $$n+29=15^2+14^2\Rightarrow n=392$$ Thus $$392^2+58\cdot392=176400=420^2$$ You can verify that the solution is unique: $ n = 392 $