Lugar del ortocentro del triángulo inscrito en la elipse

Question

Mientras jugaba con las elipses en Geogebra, encontré el siguiente resultado interesante:

Dejemos que $\alpha$ sea una elipse. Sea $AB$ sea una cuerda fija, y sea $P$ sea un punto que se mueve libremente en $\alpha$ . Entonces, como $P$ traza la elipse, el ortocentro del triángulo $PAB$ traza otra elipse (que pasa por $AB$ ).

Si toma el $\alpha$ sea de la forma $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ entonces, curiosamente, los focos de la elipse trazada por el ortocentro son paralelos a la $y$ -eje. Las dos elipses también parecen tener la misma excentricidad.

Creo que una prueba podría estar en la línea de aplicar la transformación lineal dada por la matriz $\begin{bmatrix} \frac{1}{a} && 1 \\ 1 && \frac{1}{b} \end{bmatrix}$ que lleva la elipse al círculo unitario, resolviendo el lugar geométrico en el caso del círculo (que resulta ser sólo el círculo unitario reflejado después de $AB$ ) y luego aplicar la transformación inversa, pero no parece funcionar muy bien por alguna razón.

También pensé en parametrizar los puntos y utilizar números complejos; obtuve una fórmula para el ortocentro en términos de un ángulo $\phi$ (donde $P = (a\cos(\phi), b\sin(\phi))$ pero me parece muy poco práctico demostrar que los puntos forman una elipse, sobre todo porque no he sido capaz de adivinar la parte real de los focos.

Cualquier idea será bienvenida. imagen

Answer 1

Con la ayuda de Mathematica pude confirmar su sospecha.

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Sea la elipse parametrizada por $(a \cos\theta, b \sin\theta)$ y que $A$ y $B$ sean puntos correspondientes a $\theta = 2\alpha$ y $\theta = 2\beta$ . Después de un poco de trabajo con símbolos, encontramos que el ortocentro $(x,y)$ satisface $$\begin{align} ax &= \left(\; a^2\sin^2(\alpha+\beta) + b^2 \cos^2(\alpha + \beta) \;\right)\cos\theta \\[4pt] &+\left(a^2-b^2\right)\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha+\beta) \sin\theta \\[4pt] &+\left(a^2 + b^2\right) \cos(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta) \\[18pt] -by&=\left(a^2 - b^2\right) \cos(\alpha+\beta) \sin(\alpha+\beta) \cos\theta \\[4pt] &- \left(\; a^2 \sin^2(\alpha+\beta)+ b^2 \cos^2(\alpha + \beta) \;\right)\sin\theta \\[4pt] &- \left(a^2 + b^2\right) \cos(\alpha-\beta) \sin(\alpha+\beta) \end{align} \tag{1}$$

Sistema de resolución $(1)$ para $\cos\theta$ y $\sin\theta$ , sustituyendo en $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ y simplificando, obtenemos la ecuación de una nueva elipse: $$\begin{align} &\phantom{+\;\;}a^2 \left(x - \frac{a^2 + b^2}{a} \cos(\alpha-\beta) \cos(\alpha+\beta)\right)^2 \\[4pt] &+b^2 \left(y - \frac{a^2 + b^2}{b} \cos(\alpha-\beta) \sin(\alpha+\beta)\right)^2 \\[4pt] &=a^4 \sin^2(\alpha+\beta) + b^4 \cos^2(\alpha+\beta) \end{align} \tag{$ \N - La estrella $}$$

Dado que los radios horizontal y vertical son proporcionales a $1/a$ y $1/b$ vemos que los ejes mayor y menor de esta elipse son perpendiculares a los ejes del original, respectivamente. Además, para $a\geq b$ la excentricidad es $\sqrt{a^2-b^2}/a$ que coincide con la de la elipse original.

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De forma más general, podemos tomar una cónica de excentricidad $e$ parametrizado por $$\frac{p}{1+e \cos\theta}\left(\cos\theta,\sin\theta\right) $$ cuyo foco está en el origen y cuyo eje mayor/transversal coincide con el $x$ -eje. Tomando $A$ y $B$ para corresponder a $\theta=\alpha$ y $\theta = \beta$ podemos realizar el mismo tipo de análisis que el anterior para obtener una cónica comparable: $$\begin{align} &\phantom{+\;\;} x^2 \phantom{\left( 1 - e^2 \right) }( 1 + e \cos\alpha ) ( 1 + e \cos\beta ) \\ &+ y^2 \left( 1 - e^2 \right) ( 1 + e \cos\alpha ) ( 1 + e \cos\beta ) \\ &- x p \left( \left( 2 + e^2 \right) \left( \cos\alpha + \cos\beta \right) + 2 e \left(1 + 2 \cos\alpha \cos\beta \right) \right) \\ &- y p \left( 2 - e^2 \right) ( \sin\alpha + \sin\beta + e \sin(\alpha+\beta) ) \\ = &- p^2 \left( 1 + 2\cos(\alpha-\beta) + e (\cos\alpha + \cos\beta ) - e^2 \sin\alpha \sin\beta \right) \end{align}$$

Para $e=1$ la cónica original es una parábola; vemos que la nueva cónica también lo es, ya que su $y^2$ se desvanece. En caso contrario, los radios horizontal y vertical de la nueva cónica son proporcionales a $1$ y $1/|1-e^2|$ respectivamente, y deducimos que la nueva excentricidad es también $e$ . En todos los casos, vemos que la nueva cónica está girada $90^\circ$ con respecto al original.