Problema
Estoy trabajando en el siguiente ejercicio a partir de la página 60 de Kunen los Fundamentos de las Matemáticas:
Demostrar, sin usar el aire acondicionado, que uno puede asignar $\mathcal{P}(\omega)$ a $\omega_1$.
En mi copia del texto, se proporciona la siguiente sugerencia:
Definir $f:\mathcal{P}(\omega\times\omega)\xrightarrow{\text{onto}}\omega_1$ , de modo que $f(R)=\text{type}(R)$ siempre $R$ es un bien de orden de $\omega$ e $f(R)=|R|$ siempre $R$ es finito.
Mi instructor añadido a esta sugerencia, diciendo que $f(R)=0$ (o cualquier otro número de su elección) de lo contrario.
Intento de Solución
Ok, así que tengo para establecer que existe un surjective función de $\mathcal{P}(\omega)$ a $\omega_1$, y la función de Kunen siempre como una sugerencia me va a ayudar a hacer esto. Con la ayuda de mi instructor, me hizo un bruto hoja de ruta para esta prueba:
- Asegúrese de $f$ es una función definida por el que no requiere el Axioma de Elección. $\checkmark$
- Mostrar que $f$ (como se indica más arriba) es surjective.
- Establecer el hecho de que $\mathcal{P}(\omega\times\omega)\approx \mathcal{P}(\omega)$, es decir, hay un bijection $g:\mathcal{P}(\omega)\rightarrow \mathcal{P}(\omega\times\omega)$. $\checkmark$
- A la conclusión de resultado deseado tomando la composición de la $g\circ f$, es decir, $g\circ f=h:\mathcal{P}(\omega)\rightarrow \omega_1$. $\checkmark$
Como indica el $\checkmark$'s, entiendo todos los pasos necesarios de esta prueba, aparte de mostrar que $f$ es surjective.
Sé que $\omega_1$ es la (primera) innumerables ordinal que contiene todos los contables de los números ordinales. Así que para mostrar surjectivity, necesito mostrar que para cualquier ordinal $\alpha\in\omega_1$ tenemos algunos $R\in\mathcal{P}(\omega\times\omega)$ tal que $f(R)=\alpha$.
Mi primer pensamiento fue el pensar de $\omega_1$ como contienen dos tipos diferentes de contables ordinales: contables y finito, y contables e infinito.
Así que si $R$ es un bien de orden de $\omega$, a continuación, $f(R)=\text{type}(R)=\text{type}(\omega;R)=\alpha$, donde $\alpha$ es el único ordinal tal que $(\omega;R)\simeq(\alpha;\in)$. Creo que no entiendo tipo de orden muy bien, pero en mi cabeza esto significa que todos los ordinales $\alpha\geq \omega$ va a obtener "éxito". A continuación, el resto de los ordinales $<\omega$ le golpean a través de $f(R)=|R|$ (o $0$?).
Pero esto se siente mal...
Pregunta
Claramente estoy luchando con la que muestra esta función es surjetive, si el absoluto desorden de pensamientos por encima de la no indicación suficiente. Me estoy preguntando si usted almas bondadosas estaría dispuesto a ayudarme a rellenar los huecos en mi entendimiento (en lo que se refiere a la muestra $f$ es surjective), para que yo pueda finalmente ser capaz de completar esta prueba.
Gracias de antemano!
