La identidad del delta de Levi-Civita y Kronecker

Question

Estoy tratando de probar la siguiente identidad:

$ \epsilon ^{ijk} \epsilon_ {pqk}= \delta_p ^i \delta_q ^j- \delta_p ^j \delta_q ^i$

A partir de la siguiente identidad:

$ \epsilon ^{ijk} \epsilon_ {pqr}= \begin {vmatrix} \delta ^i_p & \delta ^i_q & \delta ^i_r \\ \delta ^j_p & \delta ^j_q & \delta ^j_r \\ \delta ^k_p & \delta ^k_q & \delta ^k_r \\ \end {vmatrix}$

Pero, cuando expando la matriz, termino con:

$ \epsilon ^{ijk} \epsilon_ {pqr}= \delta_p ^i( \delta_q ^j \delta_r ^k- \delta_q ^k \delta_r ^j)- \delta_q ^i( \delta_p ^j \delta_r ^k- \delta_p ^k \delta_r ^j)+ \delta_r ^i( \delta_p ^j \delta_q ^k- \delta_p ^k \delta_q ^j)$

Contratando al establecer r=k, obtuve:

$ \epsilon ^{ijk} \epsilon_ {pqr}= \delta_p ^i( \delta_q ^j \delta_k ^k- \delta_q ^k \delta_k ^j)- \delta_q ^i( \delta_p ^j \delta_k ^k- \delta_p ^k \delta_k ^j)+ \delta_k ^i( \delta_p ^j \delta_q ^k- \delta_p ^k \delta_q ^j)$

Entonces..:

$ \epsilon ^{ijk} \epsilon_ {pqr}= \delta_p ^i( \delta_q ^j- \delta_q ^j)- \delta_q ^i( \delta_p ^j- \delta_p ^j)+( \delta_p ^j \delta_q ^i- \delta_p ^i \delta_q ^j)$

Así que finalmente:

$ \epsilon ^{ijk} \epsilon_ {pqr}= \delta_p ^j \delta_q ^i- \delta_p ^i \delta_q ^j$

Que es la identidad que estoy tratando de probar, excepto que el lado derecho se multiplica por -1 por alguna razón. Debo estar haciendo algo malo en el camino, pero no he sido capaz de encontrarlo. ¿Alguna idea?

EDITAR:

Se ha respondido a una pregunta similar en otro lugar pero sólo al expandir el determinante llego a este problema. Por esa razón, decidí hacer un post separado sobre esto.

EDITORIAL 2:

Añadido pasos intermedios.

EDICIÓN FINAL:

Como Travis señaló, he reemplazado incorrectamente $ \delta_k ^k$ por $1$ en lugar de $3$ . Después de corregir esto, llegué a la solución correcta:

$ \epsilon ^{ijk} \epsilon_ {pqr}= \delta_p ^i(3 \delta_q ^j- \delta_q ^j)- \delta_q ^i(3 \delta_p ^j- \delta_p ^j)+( \delta_p ^j \delta_q ^i- \delta_p ^i \delta_q ^j)= \delta_p ^i \delta_q ^j- \delta_p ^j \delta_q ^i$

Answer 1

Es difícil decirlo con seguridad sin ver los pasos intermedios de la contracción, pero al llevarla a cabo ¿acaso sustituyó $\delta^k{}_k$ con $1$ en lugar de $3$ ? Esto último es correcto, porque $$\delta^k{}_k = \delta^1{}_1 + \delta^2{}_2 + \delta^3{}_3 = 1 + 1 + 1 = 3 .$$