Su prueba de la implicación $a)\implies b)$ falta; demuestras que toda función polinómica $f:\ A\ \longrightarrow\ A$ es de la forma $f(x)=bx+a_0$ para algunos $b,a_0\in A$ . Esto demuestra que hay como máximo $n^2$ funciones polinómicas $f:\ A\ \longrightarrow\ A$ . Debe demostrar que todos son distintos.
Para la inversa, demuestre de nuevo que las funciones lineales son todas distintas. Esto da como resultado $n^2$ funciones polinómicas distintas $f:\ A\ \longrightarrow\ A$ de la forma $f(x)=bx+a_0$ . Por tanto, todas las funciones polinómicas tienen esta forma. En particular, existe $b,a_0\in A$ tal que $x^2=bx+a_0$ para todos $x\in A$ . Enchufar $x=0$ y $x=1$ muestra que $a_0=0$ y $b=1$ Así que $x^2=x$ para todos $x\in A$ .
He aquí una alternativa más abstracta, que no resulta en absoluto más fácil, pero que quizá ofrezca otra perspectiva:
Dejemos que $B:=\operatorname{Map}(A,A)$ denotan el conjunto de funciones $f:\ A\ \longrightarrow\ A$ . Tenga en cuenta que $B$ es un grupo con respecto a la adición puntual. Los polinomios con coeficientes en $A$ inducir funciones de $A$ a $A$ por evaluación, dando lugar a un homomorfismo de grupo $$\varepsilon:\ A[X]\ \longrightarrow\ B:\ f\ \longmapsto\ (x\ \mapsto\ f(x)).$$ Porque $x^2=x$ para todos $x\in A$ vemos que $\langle X^2-X\rangle\in\ker\varepsilon$ y no es difícil ver que, de hecho, el ideal $(X^2-X)\subset A[X]$ está contenida en $\ker\varepsilon$ . Para ver que $\ker\varepsilon=(X^2-X)$ basta con observar que un polinomio lineal $bX+a\in A[X]$ induce el mapa cero si y sólo si $a=b=0$ ; en efecto, desde $$\forall x\in A:\ bx+a=0,$$ se deduce inmediatamente que $a=0$ y $b=0$ introduciendo $x=0$ y $x=1$ . Por lo tanto, por el primer teorema del isomorfismo, la imagen de $\varepsilon$ es isomorfo a $A[X]/(X^2-X)$ que es un anillo de $n^2$ elementos.
