Si un conjunto está abierto, ¿eso implica que no tiene puntos de límite?

Question

Me pregunto si digamos que E es un conjunto abierto, ¿eso implica que ∂E es el conjunto vacío?

Answer 1

No, significa que el conjunto no contiene puntos de su contorno, que no es lo mismo que no tener un límite.

Considere el siguiente conjunto de $E \subset \mathbb{R^2}$, un disco centrado en $(0,0)$ radio $1$: $$E=\left\{(x,y) \in \mathbb{R^2} \;\vert\; x^2+y^2 < 1\right\}$$ Luego de este conjunto se $E$ tiene límite de puntos (es decir, todos los puntos en el círculo de $x^2+y^2=1$), pero no los contienen - $E$ es un conjunto abierto.

Answer 2

No.

El límite del intervalo abierto $(0,1)$ en $\Bbb R$ , por ejemplo, es $\{0,1\}$ . El conjunto tiene puntos de límite, pero no los contiene .