¿Es el grupo aditivo de enteros un grupo racional?

Question

Un grupo de $\mathbb{G}$ se llama racional (https://groupprops.subwiki.org/wiki/Rational_group) si $g,g' \in \mathbb{G}, \langle g \rangle = \langle g' \rangle \Rightarrow \exists x \in \mathbb{G}: xgx^{-1} = g'$.

He seguido, que $\mathbb{Z}$ no es racional, porque por ejemplo, $\langle 2 \rangle = \langle -2 \rangle$, pero $x+2+(-x)=2 \neq -2$.

Por otro lado, estoy leyendo un papel, diciendo: "un grupo de X se llama racional si es isomorfo a un subgrupo del grupo de los racionales $\mathbb{Q}$', y esto implicaría que $\mathbb{Z}$ es racional.

Son los defintions engañosa o que algo está mal con mis conclusiones?

Answer 1

No todas las definiciones que son estándar. Las definiciones pueden variar dependiendo de el libro de texto o del autor (por ejemplo: ¿cuántas definiciones de continuidad a lo que ya tenemos? no siempre son equivalentes). Racional de grupo puede ser uno de ellos (después de todo, el término no es muy popular). Compruebe el papel de la definición.

Nota: de acuerdo a la primera definición, si un grupo abelian es racional, entonces cada elemento tiene que ser de orden $2$. Que sigue, porque si $g\in A$ es de orden mayor que $2$ luego de Euler totient función nos dice que hay otra potencia de $g$ que genera $\langle g\rangle$. Y ese elemento no puede ser conjugado de a $g$ porque $A$ es abelian. En particular abelian racional grupos son espacios vectoriales sobre $\mathbb{Z}_2$ y por lo tanto son de la forma $\bigoplus \mathbb{Z}_2$ y, de hecho, cada grupo es racional.

Answer 2

Estas deben ser dos definiciones no relacionadas. Después de todo, como $\mathbb{Q}$ es abeliano, cada conjugación no mueve elementos.