Demuestra que $ \lim_ {x \to 1^{+} } \int_ {x}^{x^{3}} \frac {1}{ \ln t}\, dt= \ln3 $ .

Question

Demuestra que

$$ \lim_ {x \to 1^{+}} \int_ {x}^{x^{3}} \frac {1}{ \ln t}\, dt= \ln3 $$

Nunca había visto algo así antes.

Me di cuenta de que $ \int_ {1}^{3} \frac {1}{x}dx= \ln x|_{1}^{3}$ y con el cambio de variable en la integral inicial obtengo, para $x= \ln (t)$ , $ \int_ { \ln t}^{3 \ln t} \frac {1}{ \ln ( \ln (t))}dt$ y para $t=e^s$ Es $ \int_ {s}^{3s} \frac {1}{ \ln (s)}ds$ y desde aquí no puedo obtener el límite requerido.

Answer 1

Sustituye a $t=x^v$ entonces obtenemos $$ \begin {align*} I(x)&= \int_ {x}^{x^3} \frac1 { \ln t}\ dt \\ &= \int_1 ^3 \frac {x^{v}}{v} \ dv. \end {align*}$$ Ahora, podemos ver $ \lim_ {x \to 1^+}I(x)= \ln 3$ por el teorema de la convergencia dominado por Lebesgue; para cada secuencia $x_n>1$ convergiendo a $1$ tenemos que $$ \begin {align*} I(x_n)&= \int_1 ^3 \frac {x_n^{v}}{v} \ dv \\ & \xrightarrow {n \to \infty } \int_1 ^3 \frac 1 v\ dv= \ln 3 \end {align*}$$ por el LDCT. (Por $1<x \le 2$ , $0 \le \frac {x^v}{v} \le \frac {2^v}{v}$ .)

Answer 2

Sólo añadido por su curiosidad.

@Song proporcionó una solución agradable y simple.

Tarde o temprano, aprenderás que $$ \int\frac {dt}{ \ln t}= \text {li}(t)$$ donde aparece una función especial, a saber la función integral logarítmica .

Lo que es interesante es que, asumiendo $t>1$ la expansión de la serie viene dada por $$ \text {li}(t)= \gamma + \log (t-1)+ \frac {t-1}{2}- \frac {(t-1)^2}{24} +O \left ((t-1)^3 \right )$$ lo que significa que, para $x$ cerca de $1$ usando la expansión del binomio $$ \int_x ^{x^n} \frac {dt}{ \ln t}= \log (n)+(n-1) (x-1)+ \frac {(n-1)^2}{4} (x-1)^2+O \left ((x-1)^3 \right )$$

Por ejemplo, utilizando $n=5$ y $x= \frac {11}{10}$ la aproximación anterior daría $ \frac {11}{25}+ \log (5) \approx 2.04944$ mientras que, usando la integración numérica, obtendrías $ \approx 2.05173$ .

Yendo un poco más allá, supongamos que quieres calcular $$I= \int_ {g(x)}^{f(x)} \frac {dt}{ \ln t}$$ donde puedes expandir los límites como series alrededor de $x=1$ es decir $$f(x)=1+ \sum_ {i=1}^ \infty a_i (x-1)^i \qquad \text {and} \qquad g(x)=1+ \sum_ {i=1}^ \infty b_i (x-1)^i$$ que obtendrías, como una aproximación, $$I= \log \left ( \frac {a_1}{b_1} \right )+ \left ( \frac {a_1}{2}+ \frac {a_2}{a_1}- \frac {b_1}{2}- \frac {b_2}{b_1} \right )(x-1)+O \left ((x-1)^2 \right )$$

Answer 3

La clave es observar que $$f(x) = \frac {1}{ \log x} - \frac {1}{x-1},x>0,x \neq 1,f(1)= \frac {1}{2}$$ es continua en $(0, \infty ) $ . El límite deseado es, por lo tanto, igual al límite de $$ \int_ {x} ^{x^3}f(t)\,dt+ \int_ {x}^{x^3} \frac {dt}{t-1} \tag {1}$$ como $x \to 1^{+}$ . El segundo término en $(1)$ es claramente igual a $$ \log\frac {x^3-1}{x-1}$$ y por lo tanto tiende a $ \log 3$ . Nuestro trabajo está hecho si podemos demostrar que el primer trimestre en $(1)$ tiende a $0$ . Esto es fácil ya que el integrando está limitado, por ejemplo por $M$ en un barrio de $1$ y por lo tanto no es mayor que $M(x^3-x)$ y por lo tanto tiende a $0$ como $x \to 1^{+}$ .

Answer 4

Sólo para dar otro enfoque,

$$ \int_x ^{x^3}{1 \over\ln t}\,dt= \int_ { \ln x}^{3 \ln x}{e^u \over u}\,du= \int_ { \ln x}^{3 \ln x} \left (e^u-1 \over u \right )\,du+ \int_ { \ln x}^{3 \ln x}{1 \over u}\,du$$

Ahora $(e^u-1)/u \to1 $ como $u \to0 $ así que la primera integral tiende a $0$ como $x \to1 $ mientras que

$$ \int_ { \ln x}^{3 \ln x}{1 \over u}\,du= \ln u \Big |_{ \ln x}^{3 \ln x}= \ln (3 \ln x)- \ln ( \ln x)= \ln 3+ \ln ( \ln x)- \ln ( \ln x)= \ln3 $$