El problema del círculo en el que quería encontrar el valor de $PQ$

Question

Encuentra un valor de $PQ$ :

Dejemos que el radio de un círculo más grande sea $R$ y el de los círculos más pequeños sea $r_1$ y $r_2$ .

Por lo tanto, podemos encontrar el valor de $R = 10$ . No sé cómo seguir adelante para encontrar el valor de $r_1$ y $r_2$ .

Answer 1

Deje que $AP =x$ , $PQ = y$ y $QB = z$ así que por el teorema de Pitágoras tenemos $$x+y+z = 20$$

Desde $AC = AQ$ y $BP = BC$ también lo hemos hecho: $$x+y=12$$ $$y+z=16$$

así que $PQ = y = 8$ .

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Utilicé un lema siguiente:

Lema 1 : $A,H,G$ son colineales.

Prueba : Observar una casa en $G$ que lleva el círculo más pequeño a uno más grande y deja $H'$ ser una imagen de $H$ . Luego $H'$ está en un círculo más grande y tangente $CH$ va a la tangente paralela en un círculo más grande, por lo que sólo puede ir a través de $A$ así que $H'=A$ y así $A,H,G$ son colineales.

Lema 2 : $AF = AC$

Prueba: Supongamos que $A,H,G$ son colineales. Desde $BGHD$ es cíclico, podemos usar el poder del punto $A$ : $$ AH \cdot AG = AD \cdot AB$$ Si usamos el poder del punto $A$ con respecto al círculo más pequeño que tenemos:

$$ AH \cdot AG = AF^2$$

Y si usamos el poder del punto $A$ con respecto al círculo $(BCD)$ que es tangente a $AC$ que tenemos: $$AD \cdot AB = AC^2$$

Así que $AC = AF$ .

Answer 2

Usando el poder del punto $O$ con respecto al círculo $O_1$ tenemos

\begin {alinear} |OT_2| \cdot |OT_1|&=|OP|^2 , \\ \text o \quad R(R-2r_1)&=(R-(|AD|-r_1))^2 , \\ r_1&= \sqrt {2R(2R-|AD|)}-(2R-|AD|) \tag {1} \label {1} . \end {alinear}

De la misma manera,

\begin {alinear} r_2&= \sqrt {2R \cdot | Y LA GENTE DE LA CALLE \tag {2} \label {2} . \end {alinear}

Tenga en cuenta que dado $a=16=4 \cdot4 $ , $b=12=4 \cdot3 $ significa que $ \triangle ABC$ es una versión a escala de la famosa $3-4-5$ triángulo, así que $R$ y $|AD|$ puede ser fácilmente calculada,

\begin {alinear} R&=4 \cdot\frac 52=10 , \\ |AD|&=4 \cdot3\cdot\frac 35= \frac {36}5 , \\ r_1&= \frac {16}5 , \\ r_2&= \frac {24}5 , \\ |PQ|&=8 . \end {alinear}

Answer 3

Estoy usando los lemas proporcionados por @greedoid . Entonces el cálculo de PQ puede ser simplificado como:-

$PQ = AQ + BP - AB = 12 + 16 - 20 = 8$