Mostrar que $f(x)=\cos(x)$ es una función lipschitz continua.

Question

No estoy seguro de cómo proceder. ¿Debería reescribir $|\cos(x)-\cos(y)|=|2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}|$?

Answer 1

Según el Teorema del Valor Medio, existe un $c \in (x,y)$ tal que $$\textrm{cos}(x)-\textrm{cos}(y)=(-\textrm{sin}(c))(x-y).$$

Entonces tenemos que $$|\textrm{cos}(x)-\textrm{cos}(y)|=|(-\textrm{sin}(c))(x-y)| \leq 1 \cdot |x-y|.$$

Así que $f(x)=\textrm{cos}(x)$ es Lipschitz.

Answer 2

Para todo $x$, $|\sin x|\leq |x|$. Usando la fórmula de la suma al producto:

$|\cos(x)-\cos(y)|=\left|-2\sin\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\;\sin\left(\dfrac{x-y}{2}\right)\right|\leq2\left|\sin\left(\dfrac{x-y}{2}\right)\right|\leq2\left|\dfrac{x-y}{2}\right|=|x-y|$

Answer 3

Una función con derivada acotada es siempre Lipschitz continua, pues tenemos

$\vert f(x) - f(y) \vert = \left \vert \displaystyle \int_x^y f'(s) \; ds \right \vert \le \left \vert \displaystyle \int_x^y \vert f'(s) \vert \; ds \right \vert; \tag 1$

si ahora

$\vert f'(s) \vert \le M, \tag 2$

entonces

$\vert f(x) - f(y) \vert \le \left \vert \displaystyle \int_x^y \vert f'(s) \vert \; ds \right \vert \le \left \vert \displaystyle \int_x^y M \; ds \right \vert \le M \vert y - x \vert, \tag 3$

lo cual muestra que $f(x)$ es Lipschitz continua con una constante de Lipschitz a lo sumo $M$.

Dado que

$\forall x \in \Bbb R, \; \vert (\cos x)' \vert = \vert \sin x \vert \le 1, \tag 4$

se sigue que $\cos x$ es Lipschitz continua con una constante de Lipschitz a lo sumo $1$.