Hasta irrelevante conjunto teórico de cuestiones, cada una de las categorías $\mathbb{C}$ incrusta como una subcategoría plena en:
completa y cocomplete cartesiana cerrada categoría (de hecho, un topos de Grothendieck); la incorporación está dado por la costumbre Yoneda functor $y \colon \mathbb{C} \rightarrow \mathbf{Set}^{\mathbb{C}^{op}}$; conserva todos los límites existentes (en particular de todos los productos existentes), exponente y el no-trivial colimits,
completa y cocomplete co-cartesiana cerrada categoría (de hecho, un co-topos); la incorporación está dada por la contravariante de Yoneda functor en el lado opuesto de la categoría $y^{op} \colon \mathbb{C} \rightarrow (\mathbf{Set}^{\mathbb{C}})^{op}$; conserva todas las colimits (en particular de todos los co-productos), co-exponentes y el no-trivial de los límites,
completa y cocomplete categoría, con la incrustación de la preservación de todos los límites existentes y colimits (en particular de todos los productos y co-productos); la incorporación está dada por la Dedekind-MacNeille terminación $\mathit{dm} \colon \mathbb{C} \rightarrow \mathit{DM}(\mathbb{C})$; véase la excelente respuesta proporcionada por Todd Trimble a mi anterior pregunta.
Uno puede mostrar que no podemos tener tres a la vez: no hay un universal de la incrustación de una completa y cocomplete categoría de (co)de los exponentes que conserva todos los límites existentes, colimits y (co)de los exponentes.
Así que, directamente a la dirección de su pregunta: como tomar sólo los límites y colimits (productos y co-productos) en la consideración, usted siempre puede ampliar su categoría de tal manera que todos los límites y colimits existirá. Sin embargo, dicha ampliación, en general, no para conservar todas las propiedades importantes de sus estructuras.
Tal vez, una mejor manera de mirar el problema es que, en cualquier categoría de todos los productos y co-productos "externamente" existen, pero a veces no tenemos suficientes objetos para "internalizar" en la categoría: es decir, siempre hay un "distribuidor de productos" $\hom(\Delta(-), X_i)$ (donde $\Delta$ es la diagonal functor), pero no puede existir un "producto" objeto que representa el distribuidor integrado functor $\hom(-, \prod_i X_i)$.
