¿Existe una categoría en la que no hay productos o co-productos por otros motivos que la categoría es demasiado pequeño?

Question

En la definición de un producto de objetos de $X_i$ en categoría $\mathcal{C}$, no hay ninguna suposición de que el objeto existe. En su lugar, la definición dice que si existe, entonces se cumple...

Hay categorías en las que los productos no existen: la categoría de grupos finitos, por ejemplo, desde un infinito producto ya no está en la categoría. En la categoría de abelian grupos, no hay ningún subproducto (EDIT: esto está mal como se señaló en los comentarios. El subproducto en la categoría de abelian grupos es la suma directa, no el producto libre, como lo es en la categoría de grupos). ya que el producto libre de abelian grupos no es abelian.

En estos ejemplos (y otros), la razón de la no-existencia es realmente que la categoría en cuestión es demasiado pequeño: el producto existe en un mayor ambiente categoría (la categoría de grupos de trabajos en ambos ejemplos), pero no en el más pequeño. Así que mi pregunta es la siguiente:

¿Existe una categoría en la que no hay productos o co-productos por otros motivos que la categoría es demasiado pequeño?

Answer 1

Hasta irrelevante conjunto teórico de cuestiones, cada una de las categorías $\mathbb{C}$ incrusta como una subcategoría plena en:

• completa y cocomplete cartesiana cerrada categoría (de hecho, un topos de Grothendieck); la incorporación está dado por la costumbre Yoneda functor $y \colon \mathbb{C} \rightarrow \mathbf{Set}^{\mathbb{C}^{op}}$; conserva todos los límites existentes (en particular de todos los productos existentes), exponente y el no-trivial colimits,

• completa y cocomplete co-cartesiana cerrada categoría (de hecho, un co-topos); la incorporación está dada por la contravariante de Yoneda functor en el lado opuesto de la categoría $y^{op} \colon \mathbb{C} \rightarrow (\mathbf{Set}^{\mathbb{C}})^{op}$; conserva todas las colimits (en particular de todos los co-productos), co-exponentes y el no-trivial de los límites,

• completa y cocomplete categoría, con la incrustación de la preservación de todos los límites existentes y colimits (en particular de todos los productos y co-productos); la incorporación está dada por la Dedekind-MacNeille terminación $\mathit{dm} \colon \mathbb{C} \rightarrow \mathit{DM}(\mathbb{C})$; véase la excelente respuesta proporcionada por Todd Trimble a mi anterior pregunta.

Uno puede mostrar que no podemos tener tres a la vez: no hay un universal de la incrustación de una completa y cocomplete categoría de (co)de los exponentes que conserva todos los límites existentes, colimits y (co)de los exponentes.

Así que, directamente a la dirección de su pregunta: como tomar sólo los límites y colimits (productos y co-productos) en la consideración, usted siempre puede ampliar su categoría de tal manera que todos los límites y colimits existirá. Sin embargo, dicha ampliación, en general, no para conservar todas las propiedades importantes de sus estructuras.

Tal vez, una mejor manera de mirar el problema es que, en cualquier categoría de todos los productos y co-productos "externamente" existen, pero a veces no tenemos suficientes objetos para "internalizar" en la categoría: es decir, siempre hay un "distribuidor de productos" $\hom(\Delta(-), X_i)$ (donde $\Delta$ es la diagonal functor), pero no puede existir un "producto" objeto que representa el distribuidor integrado functor $\hom(-, \prod_i X_i)$.

Answer 2

Para cualquier categoría de pequeña $C$, la presheaf categoría de functors de $C^{\operatorname{op}}$ $\operatorname{Set}$tiene todos los límites y colimits (se puede definir pointwise), y el Yoneda la inclusión es un fiel y completa functor de $C$ a la categoría de presheaves.