¿Qué es un ejemplo de una categoría que sea útil en geometría y que no tenga un producto tensorial, es decir, una categoría que no sabemos cómo convertir en una categoría monoidal?
(También estoy excluyendo las categorías monoides cartesianas).
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Matt Dawdy
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En cualquier categoría monoidal $(C, \otimes, I)$, el objeto de la unidad de $I$ tiene la propiedad de que su endomorfismo monoid $\text{End}(I)$ es conmutativo, por el Eckmann-Hilton argumento. Así que si $C$ es una categoría en la que cada endomorfismo monoid es no conmutativa, entonces no se puede tener cualquier estructura monoidal.
Razonablemente natural geométrica ejemplo está dado por la categoría de cerrado conectado superficies. Es un lindo ejercicio para demostrar que cada endomorfismo monoid aquí es no conmutativa.
AreaMan
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3568
Estaría interesado categorías con demasiados tensor de productos? (Yo diría que al tener tantas opciones a veces puede ser similar a no tener opciones, dependiendo de su propósito.)
Nuestras variedades son lisas. La derivada de la categoría de un coherente gavillas de variedad tiene un producto tensor, pero monoidally derivados equivalente variedades son isomorfos, por Balmer reconstrucción. Así que si usted desea considerar variedades hasta derivada de equivalencia (y este debe ser un debilitamiento de isomorfismo), a continuación, desea olvidar la natural estructura monoidal. Así, esta categoría tiene un producto tensor, de hecho, muchos de tensor de productos, pero con frecuencia no queremos.
Aquí está el documento: https://arxiv.org/abs/math/0111049
(En el buen caso, todos los complejos son perfectos, por lo que la limitada derivada de la categoría de perfecto complejos es el mismo que el de costumbre limitada derivada de la categoría.)
Yo no soy experto en esto (yo no soy un experto en nada, pero esto sobre todo), por lo que hacer su propia mente.
