sobre la integral gaussiana$\int_0^{\infty} e^{-x^2}\ \mathrm{d}x$

Question

Tengo un ejercicio que parece ser un método para calcular la integral gaussiana:

Dejar $\displaystyle f(x)=\int_0^1 \frac{\exp(-x^2(t^2+1))}{t^2+1}\ \mathrm{d}t$

Estudie la derivabilidad de$f$, luego concluya que$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x^2}\ \mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

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Estoy atascado en la segunda pregunta: por la regla de Leibinz$f$ es diferenciable sobre$\mathbb{R}$, pero no pude calcular$f'(x)$ en términos de$x$ solo o averiguar el Relación entre las dos preguntas.

Answer 1

Unos pocos consejos para ponerte en marcha.

Considerar $F(t)=\left(\displaystyle \int_0^t e^{-x^2}\ \mathrm{d}x\right)^2$.

Diferencie con respecto a$t$ y establezca$x=ty$. Llegarás a:$$F{\prime}(t)=-{\frac{d}{dt}}\int_0^1 {\frac{e^{-(1+y^2)t^2}}{1+y^2}}\ \mathrm{d}y

Escriba esto como:$F^{\prime}(t)=-G^{\prime}(t)$ para que haya una constante$C$ tal que$F(t)=-G(t)+C$ para todos$t>0$.

Para encontrar$C$ deje que$t$ tienda de campaña para$0$. El lado izquierdo va a 0, obviamente, mientras que el lado derecho va a${\pi}/4+C$. Por lo tanto,$C=-{\pi}/4$. Sustituya en$F(t)=-G(t)+C$ y deje que t tiende a infinito para llegar a lo que necesita.