Si mi entendimiento es correcto, ni los procesos reversibles ni los adiabáticos son necesariamente isotrópicos.
¿Pero los procesos adiabáticos reversibles son siempre isotrópicos?
Sí.
A partir del teorema de Clausius se puede deducir la siguiente desigualdad: $$\delta Q \le TdS$$ donde la igualdad se cumple en el caso reversible.
Por lo tanto, un proceso adiabático reversible es necesariamente isotrópico, pero los procesos adiabáticos irreversibles no lo son.
Para decirlo de otra manera, en un proceso irreversible, según la desigualdad anterior, o bien cambia la entropía, o bien el calor debe ser de alguna manera eliminado del sistema para que sea posible tener un cambio cero en la entropía. Por lo tanto, un proceso isotrópico irreversible no puede ser adiabático.
Quiero explicar desde los fundamentos, en lugar de invocar el teorema de Clausius. Aquí va:
PASO 1: REVERSIBLE --> No se crea ni se destruye entropía durante el proceso
La entropía no puede ser creada o destruida en ninguna parte de ningún proceso reversible en absoluto. La razón es, primero, la entropía nunca puede ser destruida bajo ninguna circunstancia (segunda ley de la termodinámica), y segundo, si la entropía fuera creada en (parte de) el proceso, sería destruida en la parte correspondiente de la versión invertida del proceso. Pero de nuevo, la entropía no puede ser destruida.
PASO 2: ADIABÁTICO --> No hay flujo de entropía durante el proceso (dentro o fuera de la región en cuestión)
Si no hay calor fluyendo dentro o fuera de la región (definición de "adiabático"), y no hay materia fluyendo dentro o fuera de la región (también parte de la definición de "adiabático" creo), entonces no hay forma de que la entropía pueda estar fluyendo dentro o fuera de la región.
CONCLUSIÓN: La entropía de la región está fija si el proceso es tanto reversible como adiabático.
Para responder a esta pregunta, empecemos con la combinación de la primera y segunda ley de la termodinámica, \begin{equation} dU = TdS-PdV \end{equation} Para un gas ideal, $dU=c_{v}dT$. Por lo tanto $$TdS = c_{v}dT+PdV \qquad$$ El cambio en la entropía en términos de diferenciales exactos (usando la ecuación de estado para un gas ideal $PV=RT$), $$\tag{1} dS = c_{v}\frac{dT}{T}+ R\frac{dV}{V}$$
Tomando el logaritmo en ambos lados de la ecuación del gas ideal $PV=RT$ y tomando diferenciales en ambos lados da como resultado \begin{equation} \frac{dP}{P}+\frac{dV}{V} = \frac{dT}{T} \end{equation} Usando la ecuación anterior en la Ecuación (1), y utilizando las relaciones $c_{p}-c_{v}=R; \gamma=c_{p}/c_{v}$, obtenemos
$$dS= c_{v}\left[\frac{dP}{P}+\frac{dV}{V}\right]+R\frac{dV}{V}$$ o \begin{equation} \frac{dS}{c_{v}} = \frac{dP}{P} + \gamma\frac{dV}{V} \end{equation}
Integrando entre dos estados 1 y 2, obtenemos \begin{equation} \frac{\Delta S}{c_{v}} = \ln\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)+\gamma\ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right) = \ln\left[\frac{P_{2}}{P_{1}}\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\gamma}\right] \end{equation} Usando ambos lados de la última expresión como exponentes obtenemos
$$\tag{2} \boxed{\frac{P_{2}V_{2}^{\gamma}}{P_{1}V_{1}^{\gamma}} = e^{\Delta S/c_{v}}}$$
La Ecuación (2) describe un proceso general. Para la situación específica en la que la entropía es constante, es decir, $\Delta S = 0$, recuperamos la expresión $PV^{\gamma}=\text{constante}$. Lo cual se aplica a un proceso adiabático reversible. Ahora vemos, a través de la segunda ley de la termodinámica, un significado más profundo a la expresión, y al concepto de un proceso adiabático reversible, en el sentido de que ambos son características de una entropía constante, o proceso isentrópico.
Entonces en general, un proceso adiabático no es necesariamente isentrópico; solo si el proceso es reversible ($\Delta S =0$) y adiabático ($dQ =0$), lo llamamos isentrópico.
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Relacionado: physics.stackexchange.com/q/52231/2451 y enlaces allí dentro.
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Solo para alertarte, el término "adiabático" está ahora en un estado de cambio. En física térmica, se usó por primera vez para significar "sin transferencia de calor", pero se ha vuelto muy común usarlo para significar "reversible y sin transferencia de calor", y así es como se usa generalmente en áreas fuera de la física térmica (por ejemplo, mecánica cuántica básica).