¿Por qué obtengo dos soluciones para esta ecuación de valor absoluto?

Question

La pregunta es "Indique con una razón si hay alguna solución a |12-5x| = -2x+3"

Puedo ver claramente que no hay soluciones cuando lo grafico pero he aprendido a resolver estas preguntas haciendo lo siguiente:

$|x| = y$

$x = y $

$x = -y $

Al hacer esto aquí, obtengo:

$|12 - 5x| = -2x + 3$

$12 - 5x = -2x + 3$

$12 - 5x = 2x - 3$

Resolviendo para cada uno de ellos obtengo $(3, -3)$ -> Así que no hay solución aquí ya que la y es negativa - tiene sentido

Pero también recibo $(15/7, 9/7)$ que, en teoría, sería una intersección.

Obviamente esto no es correcto pero algebraicamente tengo problemas con la intuición.

¡Espero que alguien pueda ayudar!

Answer 1

Tenga en cuenta que $|12-5x|=\begin{cases}12-5x,&12-5x\ge0\\5x-12,&12-5x<0\end{cases}$

Cuando $12-5x\ge0$ , se obtiene $12-5x=3-2x\implies x=3,12-5x=-3<0$ lo cual es inconsistente con la suposición inicial de que $12-5x\ge0$ .

Cuando $12-5x<0$ , se obtiene $12-5x=2x-3\implies x=15/7,12-5x=9/7>0$ lo cual es inconsistente con la suposición inicial de que $12-5x<0$ .

Answer 2

Se puede dividir el estudio en dos casos:

Caso 1

\begin{cases} 12-5x\ge0 \\[4px] 12-5x=-2x+3 \end{cases} que se convierte en \begin{cases} x\le 12/5 \\[4px] x=3 \end{cases} No hay solución.

Caso 2

\begin{cases} 12-5x<0 \\[4px] 5x-12=-2x+3 \end{cases} que se convierte en \begin{cases} x>12/5 \\[4px] x=15/7 \end{cases} No hay solución.

¿En qué te has equivocado?

Para que $|x|=y$ sostiene, es necesario que $y\ge0$ . Para $x=15/7$ , usted tiene $$ -2x+3=-\frac{30}{7}+3=-\frac{9}{7}<0 $$

Answer 3

Entonces, lo que has aprendido es... No voy a decir que esté equivocado, exactamente, sino más bien "sólo ocasionalmente correcto". Más específicamente, $|x| = y$ si y sólo si se cumple una de las siguientes condiciones:

1. $x \geq 0$ y $x = y$ .
2. $x \leq 0$ y $x = -y$ .

Usted ha considerado sólo la segunda mitad de cada uno de ellos.

Ahora, vamos a resolver su pregunta: si $12 - 5x > 0$ , entonces requerimos $12 - 5x = -2x + 3$ . Reordenando esto, tenemos $x = 3$ . Pero con $x = 3$ tenemos $12 - 5x = -3 < 0$ Por lo tanto, no estamos en este caso, y esto no es una solución.

Por otro lado, si $12 - 5x < 0$ , entonces requerimos $12 - 5x = 2x - 3$ pero luego $x = \frac{9}{7}$ y $12 - 5x = \frac{39}{7} > 0$ Así que, de nuevo, no estamos en este caso, y esto no es una solución.

Por lo tanto, no tenemos soluciones.

Answer 4

Un comienzo correcto sería: $$|x|=x\text{ if }x\geq0\text{ and }|x|=-x\text{ if }x\leq0$$

Entonces la ecuación $|x|=y$ se divide en dos casos que deben ser discernidos:

• $x=y$ si $x\geq0$
• $-x=y$ si $x\leq0$

Aplicando eso correctamente en el problema que mencionas da:

• $12-5x=-2x+3$ si $12-5x\geq0$
• $5x-12=-2x+3$ si $12-5x\leq0$

La primera da al principio tenía solución $x=3$ pero debe ser rechazado porque $12-5\cdot3\ngeq0$ .

El segundo da al principio tenía solución $x=\frac{15}7$ pero debe ser rechazado porque $12-5\cdot\frac{15}7\nleq0$ .

La conclusión final es que no hay soluciones.

Answer 5

Obsérvese que para una función de valor absoluto, se tiene:

$$f(x) = \vert x\vert = \begin{cases} x; \quad x \geq 0 \\ -x; \quad x < 0 \end{cases}$$

No has puesto ningún énfasis en las condiciones (que $\vert x\vert = x$ si $x \geq 0$ y que $\vert x\vert = -x$ si $x < 0$ ), que son extremadamente importantes.

En $\vert 12-5x\vert = -2x+3$ , usted hace dos casos distintos, pero debe También hay que recordar las limitaciones:

$$\begin{cases} \ 12-5x = -2x+3 ; \quad \color{blue}{12-5x \geq 0} \\ 12-5x = -(-2x+3) = 4x-3; \quad \color{blue}{12-5x < 0} \end{cases}$$

Para el caso uno, ignorando la condición extra, se obtiene $x = 3$ . Conéctalo a la condición dada y comprueba si se cumple:

$$12-5x \overset{?}{\geq} 0; \quad x = 3$$

$$12-5(3) = 12-15 = -3 \ngeq 0$$

Esto es falso, y también se refleja cuando el RHS se convierte en negativo, como usted ha detectado correctamente.

Para el caso dos, ignorando la condición, se obtiene $x = \frac{15}{7}$ . Conéctalo a la condición dada y comprueba si se cumple:

$$12-5x \overset{?}{<} 0; \quad x = \frac{15}{7}$$

$$12-5\left(\frac{15}{7}\right) = 12-\frac{75}{7} = \frac{9}{7} \nless 0$$

Esto también es falso, por lo que la ecuación no tiene solución.