Acabo de comenzar a aprender Conjuntos esta semana y no pude entender esta propiedad: NOTA: P (A) es el Conjunto de potencia. $$P(A\cap B) = P(A)\cap P(B)$ $$$PROOF (\text{ Just the first part})$ $ Considere un elemento digamos$a\in P(A\cap B)$. Luego,$$a\in P(A\cap B)$ $$$\Longrightarrow a\subseteq A\cap B$ $$$a\subseteq A \text{ and }a\subseteq B$ $$$a\in P(A) \text{ and }a\in P(B)$ $$$a\in P(A)\cap P(B)$ $$$\Longrightarrow P(A\cap B)\subseteq P(A)\cap P(B)$ $ ¿Podría alguien explicar el último paso: cómo obtenemos%? $P(A\cap B)\subseteq P(A)\cap P(B)$? ¿Cómo significa la secuencia de pasos que$P(A\cap B)\subseteq P(A)\cap P(B)$? ¿Cómo obtenemos$P(A\cap B)$ como un subconjunto? ¡Muchas gracias por adelantado!
Respuestas
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Ken
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Comenzó la prueba con el supuesto de que$$a\in P(A\cap B)$ $ y terminó con la conclusión de que$$a\in P(A)\cap P(B)$ $. Por lo tanto, ha demostrado que existe una implicación$$a\in P(A\cap B)\to a\in P(A)\cap P(B)$ $, lo que significa simplemente que, desde$a$ es arbitrario, que cualquier miembro del conjunto$P(A\cap B)$ también debe ser miembro del conjunto$P(A)\cap P(B)$: esta es precisamente la definición de un subconjunto. Por lo tanto podemos concluir:$$P(A\cap B)\subseteq P(A)\cap P(B)$ $
Gregory Grant
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Michael Hardy
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Si usted demuestra que cada miembro de $X$ es un miembro de $Y$, a la conclusión de que $X\subset Y$. Eso es lo que "$\subset$" significa.
Postscript inspirado por un comentario a continuación:
No es cierto que si sólo uno de los elementos de $S$ es un elemento de $T$$S\subset T$. Pero tenga en cuenta este argumento. "Vamos a $s$ ser miembro de $S$. A continuación, podemos mostrar con el siguiente argumento de que $s$ es de color púrpura." Aquí estamos demostrando que $s$ es de color púrpura mediante el uso de ninguna información acerca de la $s$, salvo que $s\in S$. Si usted puede hacer eso, entonces se sigue que cada miembro de $s$ es de color púrpura.
