Número de polinomios y funciones continuas en$\mathbb R$

Question

La pregunta es ¿cuál es la cardinalyty de

$1)$ $\mathcal P=$El conjunto de todos los polinomios con verdadero co-eficiente y

$2)$ $\mathcal R=$El conjunto de todos los reales valores de funciones continuas

Ahora un polinomio de la forma estándar es $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+....+a_0$ donde $x$ es la variable y $a_i\in \mathbb R \forall i.$

Así, por un fijo $n$, la cardinalidad de estos polinomios es $|\mathbb R^n|=c.$

El conjunto de todos los polinomios es bijective con el conjunto $\bigcup_{n=0}^{\infty}\mathbb R^n.$ por lo tanto la cardinalidad es $$\left|\bigcup_{n=0}^{\infty}\mathbb R^n\right|\\=\sum_{n=1}^{\infty}1.c\\=|\mathbb N|\cdot c\\=c$$

Estoy en lo correcto aquí.

Pero cada función continua puede ser wrtten como el límite de una secuencia de polinomios. Por eso, $\mathcal R=\bar {\mathcal P}$ por Lo que podemos decir que el $$\mathcal R\supset \mathcal P\\\implies |\mathcal R|\ge |\mathcal P|=c.$$

¿Qué debo hacer ahora para encontrar una igualdad de$?$

Gracias.

Answer 1

Sí, estás en lo correcto de que el conjunto de $\mathcal{P}$ de los polinomios con coeficientes reales tiene cardinalidad $\mathfrak{c}.$

El conjunto $\mathcal{R}$ de todas las funciones continuas de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$también tiene cardinalidad $\mathfrak{c}.$ Una forma sencilla de ver esto es observar que cualquier función continua de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$está determinada únicamente por sus valores en el conjunto de $\mathbb{Q}$ de los números racionales (esto es cierto ya que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}).$ Se sigue que la función de $i\colon\mathcal{R}\to {}^\mathbb{Q}\mathbb{R}$ definido por la configuración de $i(f)$ igual a la restricción de $f$ $\mathbb{Q}$es una inyección. $({}^\mathbb{Q}\mathbb{R}$ aquí denota el conjunto de todas las funciones de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}.)$

Pero $\mathbb{Q}$ es contable, por lo que la cardinalidad de a ${}^\mathbb{Q}\mathbb{R}$ es igual a la cardinalidad de a${}^\mathbb{N}\mathbb{R},$$\mathfrak{c}.$, Se desprende que la cardinalidad de a $\mathcal{R}$ es menor o igual a $\mathfrak{c}.$

Ahora $\mathcal{P}\subseteq\mathcal{R},$ y ya se demostró que la cardinalidad de a $\mathcal{P}$ $\mathfrak{c},$ así tenemos que la cardinalidad de a $\mathcal{R}$ es mayor que o igual a $\mathfrak{c}.$

Llegamos a la conclusión de que la cardinalidad de a $\mathcal{R}$ es igual a $\mathfrak{c}.$

Answer 2

Consideremos el conjunto a $A$ de polinomios con coeficientes racionales. Esta es una contables conjunto.

Una función continua $f:[0,1]\to \mathbb R$ es el límite uniforme de polinomios con coeficientes racionales por la Piedra-Teorema de Weierstrass. Por lo tanto, una función puede ser identificado con una secuencia $\{p_n\}_{n\in \mathbb N} \subset A$ tal que $\|p_n-f\|_\infty<1/n$. Por lo tanto, $f$ puede ser identificado con un subconjunto de a $A$. Con el fin de mostrar que la identificación es inyectiva, tenemos que demostrar que podemos recuperar $f$ únicamente a partir de un subconjunto $\{q_i:i\in \mathbb N\}$ $A$ donde $q_i$ $1-1$ correspondencia con alguna secuencia $p_n$ convergentes a $f$ anterior. Para cada una de las $n_0\in \mathbb N$ si $i_0\in \mathbb N$ es lo suficientemente grande, tenemos $\{1,\dots,i_0\} \supset \{1,\dots,n_0\}$, y por lo tanto $\|p_n-f\|_{\infty} <1/n_0$ todos los $n\geq n_0$ $\|q_i-f\|_{\infty}<1/n_0$ todos los $i> i_0$. Por lo tanto $q_i$ converge uniformemente a $f$.

Por lo tanto $f$ puede ser identificado con un elemento de $\mathcal P(A)$, y esto demuestra que $C([0,1])$ tiene cardinalidad en la mayoría de las $c=2^{\mathbb N}$.

No es difícil generalizar esto para funciones continuas $f:\mathbb R\to \mathbb R$, por ejemplo, puede utilizar una secuencia $p_n$ de polinomios tales que el $p_n$ aproxima $f$ muy bien en el intervalo de $[-n,n]$.

Answer 3

Establecer los siguientes hechos:

1. $\mathcal R$ y$\mathcal P$ tienen al menos la cardinalidad del continuo. (Considerar las constantes)

2. Cualquier función continua en$\mathbb R$ está completamente determinada por sus valores en los números racionales, y por lo tanto puede tener como máximo la cardinalidad de$\mathfrak c$.

3. $\mathcal P \subseteq \mathcal R$