Encuentra el kernel de transformación lineal.

Question

La transformación lineal$l:\mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}$ se determina de la siguiente manera:$l(1,0,0)=1$; $l(1,4,0)=-1$; $l(0,0,1)=1$. Necesito encontrar $\text{Ker}(l)$.

La respuesta debe ser$\text{Span}\{(0,2,1),(1,2,0)\}$.

Pero mi respuesta es$\text{Span}\{(1,4,1),(2,4,0)\}$.

Intenté resolver el problema de la siguiente manera:$$l(x) = x_1 l(1,0,0) + x_2 l(1,4,0) + x_3 l(0,0,1).$ $ Entonces$l(x) = x_1 - x_2 +x_3$. Después de que resuelva el sistema$x_1 - x_2 + x_3 = 0$. Obtuve$$(x_1,x_2,x_3) = \text{Span}\{(0,1,1) (1,1,0)\}.$ $ Express a las coordenadas estándar que obtuve:$x = b(1,0,0) + (a+b)(1,4,0) + a(0,0,1)$. Entonces el núcleo es$\text{Span}\{(1,4,1),(2,4,0)\}$. No puedo encontrar el error.

Answer 1

Ambas respuestas son correctas. Que es $\mathcal{A}=((0,2,1)^T,(1,2,0)^T)$ $\mathcal{B}=((1,4,1)^T,(2,4,0)^T)$ son tanto la base del Núcleo. De hecho, para la base $\mathcal{A}$ hemos

$$\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} = -\frac12\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

La aplicación de la función de $l$ y el uso de las propiedades de un lineal mapa obtenemos

\begin{align*}l\left( \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\right) &=l\left(-\frac12\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)\\ &=-\frac12l\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)+\frac12l\left(\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}\right)+l\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)\\ y=-\frac12\cdot 1 + \frac12\cdot (-1)+ 1 =0\end{align*} Y

$$\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}+0\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$ La aplicación de la función de $l$ y utilizando como sobre las propiedades lineales de los mapas:

\begin{align*} l\left(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} \right) &= \frac12 l\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right) + \frac12 l\left(\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}\right) \\ &=\frac12 \cdot 1 + \frac12 \cdot (-1) \end{align*}

Mientras que para la base $\mathcal{B}$ se puede ver que $(0,2,4)^T = 2(0,2,1)^T$ y para $$\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}=0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Y de nuevo la aplicación de $l$

\begin{align*} l\left(\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix} \right) &= l\left(\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix} \right) + l\left( \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ Y= -1 + 1 = 0 \end{align*}

Espero que esta ayuda :-)