Relación entre campos vectoriales invariantes izquierdo y derecho.

Question

Lo que estoy tratando de mostrar:

Deje que$Y$ sea un campo vectorial en un grupo de Lie$G$. Si$G$ está conectado y$[X,Y]=0$ para todo el campo vectorial invariante izquierdo$X$, entonces$Y$ es invariante a la derecha.

Pensé que podía probarlo utilizando solo las relaciones entre los campos vectoriales invariantes izquierdo y derecho, pero fallé. Me di cuenta de que no estaba usando la conexión de$G$. Tengo dificultades para comprender qué papel desempeña la conexión de$G$.

Answer 1

Debemos recordar dos cosas :

1. Dos campos vectoriales $X,Y$, transporte iff los flujos de transporte, iff $Y$ es invariante por el flujo de $X$.

2. El flujo de la izquierda invariante en el campo de vectores $X$ es el derecho de traducción por $\exp t X(e)$ donde $X(e)$ es el valor en $e$$X$.

A partir de esto, si $Y$ conmuta con evry izquierda invariante de campo vectorial, es invariante por la derecha de la traducción por $g= \exp X $ $X$ en la Mentira de álgebra de $G$.

Ahora, si el grupo $G$ está conectado, que es generado por los elementos de la forma $\exp X$, y el resultado de la siguiente manera.