Cómo mostrar que$\min\{\alpha,\max\{\beta,\gamma\}\}=\max \{ \min\{\alpha,\beta\},\min\{\alpha,\gamma\}\}.$

Question

¿Cómo mostrar que$\min\{\alpha,\max\{\beta,\gamma\}\}=\max \{ \min\{\alpha,\beta\},\min\{\alpha,\gamma\}\}$ sin considerar demasiados casos? Aquí $\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{N}.$

Podría considerar$\alpha\leq \beta\leq \gamma$ y luego varias permutaciones de esta desigualdad, pero me preguntaba si había un argumento más inteligente.

PD. Para dar un poco de contexto, este problema proviene del siguiente problema: Deje que$a,b,c\in \mathbb{N}$ luego muestre que$$a\wedge (b \vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c) $$ where $ a \ wedge b = \ gcd (a, b)$ and $ a \ vee b = \ text {lcm} (a, b)$ for any $ a, b \ in \ mathbb {N}.$ Using prime factorizations for $ a, b$ and $ c $ one puede reducir el problema A mostrar la igualdad que he mencionado anteriormente.

Answer 1

Supongamos que$\alpha\ge\max(\beta,\gamma)$, entonces$\alpha\ge\beta$ y$\alpha\ge\gamma$, lo que significa que$$\max(\min(\alpha,\beta),\min(\alpha,\gamma))=\max(\beta,\gamma)=\min(\alpha,\max(\beta,\gamma))$ $ De lo contrario,$\alpha<\max(\beta,\gamma)$, entonces:$$\max(\min(\alpha,\beta),\min(\alpha,\gamma))=\max(\alpha,\min(\alpha,\min(\beta,\gamma)))=\max(\alpha,\min(\alpha,\beta,\gamma))=\alpha=\min(\alpha,\max(\beta,\gamma))$ $

Answer 2

Primer caso:$\alpha=\max\{\beta,\gamma\}$ luego$$\min\{\alpha,\max\{\beta,\gamma\}\}=\alpha$$ and $$\max\{\min\{\alpha,\beta\},\min\{\alpha,\gamma\}\}=\max\{\beta,\gamma\}=\alpha$ $

Segundo caso:$\alpha>\max\{\beta,\gamma\}$ luego$\alpha>\beta$ y$\alpha>\gamma$. Estos implican$$\min\{\alpha,\max\{\beta,\gamma\}\}=\max\{\beta,\gamma\}$ $ y$$\max\{\min\{\alpha,\beta\},\min\{\alpha,\gamma\}\}=\max\{\beta,\gamma\}$ $

Tercer caso (último):$\alpha<\max\{\beta,\gamma\}$ luego$\alpha<\beta$ o$\alpha<\gamma$. Por lo tanto,$$\min\{\alpha,\max\{\beta,\gamma\}\}=\alpha$ $ y$$\max\{\min\{\alpha,\beta\},\min\{\alpha,\gamma\}\}=\max\{\alpha,\min\{\alpha,\gamma\}\}=\alpha$ $ o$$\max\{\min\{\alpha,\beta\},\min\{\alpha,\gamma\}\}=\max\{\min\{\alpha,\beta\},\alpha\}=\alpha$ $ En cualquier caso, las respuestas son iguales.