El problema 10, sec. 3.3, en Bartle & Sherbert's INTRO TO REAL ANALYSIS, 4ª ed .: ¿Es esta secuencia convergente?

Question

Aquí es Prob. 10, Segundo 3.3, en el libro Introducción al Análisis Real por Robert G. Bartle Y Donald R. Sherbert, 4th edition:

Establecer la convergencia o la divergencia de la secuencia de $\left( y_n \right)$, donde $$ y_n \colon= \frac{1}{ n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \ \mbox{ for } n \in \mathbb{N}. $$

Mi Intento:

Para cada una de las $n \in \mathbb{N}$, tenemos $$ \begin{align} y_{n+1} - y_n &= \left( \frac{1}{ (n + 1) +1} + \frac{1}{ (n+1) +2 } + \cdots + \frac{1}{2(n+1)} \right) - \left( \frac{1}{ n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \right) \\ &= \left( \frac{1}{ n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n+ 2 } \right) - \left( \frac{1}{ n+1} + \cdots + \frac{1}{2n} \right) \\ &= \frac{ 1 }{2n+1} + \frac{ 1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} \\ &= \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \\ &= \frac{1}{ (2n+1) (2n+2) } > 0, \end{align} $$ lo que muestra que nuestra secuencia es monótonamente creciente.

También, para cada una de las $n \in \mathbb{N}$, tenemos $$ y_n = \frac{1}{ n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} < \underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n} }_{ \mbox{ $n$ times } } = 1. $$

Por lo tanto nuestra secuencia, siendo monótona creciente y acotada es convergente.

Es lo que he hecho hasta ahora todo correcto?

Cómo determinar el límite de esta sucesión?

Answer 1

Tu prueba es correcta.

Es demasiado temprano (en el libro) para obtener el límite. Algún tiempo más tarde será fácil ver una suma integral de $$ \ int_ {0} ^ {1} \ frac {1} {1 + x} \, dx. $$

Answer 2

Sí, estás bien. Debido a que una secuencia de números reales creciente y acotada es convergente, es el axioma del número Real: un conjunto acotado en$R$ tiene supremum. Para calcular el límite, considere la función$$f(x)=\frac{1}{x+1}\ \ \text{on}\ \ [0,1]$$it's integrable, and we let $ 0 <\ frac {1} {n} <\ frac {2} {n} <…… <\ frac {n-1} {n} <1 $, por lo tanto$$\int_0^1\frac{1}{x+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}f(\frac{i}{n})=\sum_{i=1}^n\frac{1}{n+i}=\log(x+1)|_{x=0}^{x=1}=\log 2$ $

Answer 3

Lo que hiciste está bien.

Ahora, en lo que respecta a la imitación, tenga en cuenta que$$y_n=\frac1n\left(\frac1{1+1/n}+\frac1{1+2/n}+\cdots+\frac1{1+n/n}\right).$ $ Esta es una suma de Riemann.