No tengo ni idea de por dónde empezar con esto. Creo que la idea debería ser que necesitamos un isomorfismo de$L^3\to (L^{3/2})^*$ y luego un isomorfismo de$(L^{3/2})^*\to (L^3)^{**}$, pero no veo cómo hacerlo.
Respuesta
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El uso de la dualidad propiedades de $L^p$ espacios: $$ (L^p)^{**}= (L^{p'})^* = L^p,\qquad \frac1p + \frac 1{p'}= 1,\qquad 1<p<\infty. $$
EDIT: más detalles.
Para $g\in L^{p'}$ definimos $$k_p(g): f\longmapsto\int fg.$$ Puede ser demostrado que el $k_p(g)\in (L^p)^*$ (fácil) y que $$k_p:L^{p'}\longrightarrow (L^p)^*$$ es un isomorfismo isométrico (menos fácil). Finalmente, la composición $$(k_p^{-1})^*\circ k_{p'}: L^p\longrightarrow (L^{p'})^*\longrightarrow (L^p)^{**}$$ es un isomorfismo isométrico y coincide con el canónica de la incrustación en el bidual.
