Derivación" de la transformada de Laplace a partir de la $z$ Transfórmate: Falta un $\Delta t$

Question

Los libros de texto suelen ofrecer la siguiente "derivación" (o justificación, si lo prefiere) de la transformada z a partir de la transformada de Laplace. Sea $x(t)$ sea una señal definida en $t\geq 0$ y escribir una versión discretizada de $x(t)$ como: $$ x_d(t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} x(n\Delta t)\delta(t-n\Delta t) $$ donde $\delta()$ es la función delta de Dirac. Tomemos la transformada de Laplace de $x_d(t)$ : $$ \mathcal{L}\{x_d(t)\}= \sum\limits_{n=0}^{\infty} x(n\Delta t)\mathcal{L}\{\delta(t-nT)\}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} x(n\Delta t) e^{-sn\Delta t} =^{z=e^{s\Delta t}} \sum\limits_{n=0}^{\infty} x(n\Delta t) z^{-n} = X(z) $$ Deseo demostrar a alguien que ya está familiarizado con la $z$ Transformar que la Transformada de Laplace es su análogo continuo, por lo que deseo hacer el proceso anterior a la inversa. Estoy intentando el siguiente enfoque:

Consideremos una señal en tiempo discreto $x[n]$ como una versión muestreada de una señal continua: $x[n]=x(n\Delta t)$ y que $z=e^{s\Delta t}$ : $$ X(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x(n\Delta t) e^{-sn\Delta t} $$

A lo que voy es a argumentar que como $\Delta t \rightarrow 0$ , esta suma se convierte en una integral y por tanto en la Transformada de Laplace. Pero falta $\Delta t$ dentro de la suma para que coincida con la definición de integral de Riemann.

Agradecería que alguien me dijera qué me estoy perdiendo.

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Notas:

• Este vídeo del MIT ignora por completo el problema y se limita a escribir una integral $dt$ .
• Este intento de Stanford hace algo raro que me parece mal.

Answer 1

Todo el problema radica en que la versión discretizada de la $x$ no es lo que se reclama a menos que $\Delta t=1$ . De hecho, la versión discreta correcta debería ser $$ x_d(t)=\sum_{n=0}^\infty x(n\Delta t)\color{red}{\Delta t}\,\delta(t-n\Delta t) $$ que converge en el sentido de las distribuciones a $x(t)$ y no la propuesta. En efecto, si $\varphi$ es una función de prueba, entonces $$ \langle x_d,\varphi\rangle=\sum_{n=0}^\infty x(n\Delta t)\,\varphi(n\Delta t)\,\Delta t \mathop{\longrightarrow}_{\Delta t\to0}\int_0^\infty x(t)\varphi(t)dt $$ mientras que claramente esto no se cumple cuando consideramos la versión de señal discretizada propuesta en la pregunta del OP.

Ahora, con la nueva fórmula del $x_d$ todo funciona.