¿Cuál es la motivación de formas diferenciales?

Question

Estoy en ese punto en mi matemáticos de la carrera donde estoy aprendiendo formas diferenciales. Estoy leyendo de M. Spivak del Cálculo de los Colectores. Hasta ahora me han pasado sobre el tensor de la cuña y de los productos y sus propiedades, formas definidas, se enteraron de su pullbacks y las propiedades de estos pullbacks, y se define el operador diferencial, mientras que el aprendizaje de algunas de sus propiedades. Actualmente estoy leyendo acerca de la exacta/formas cerradas en la construcción de un cierto "de Poincaré Lema".

Mientras que la teoría todo parece encajar juntos (aunque con un poco de esfuerzo), ha habido una persistente pregunta. ¿Qué es la motivación? Ha sido mi experiencia, muchas de las construcciones matemáticas (la que me he encontrado al menos) se realiza con el objetivo de una mejor comprensión de algo. Siento que esta cosa es que faltan de mi comprensión de formas diferenciales. Cualquier visión que será apreciado.

Answer 1

Spivak parece pasar más tiempo al desarrollo de la intuición en su libro Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial, volumen 1. En la p. 111, en el capítulo 4, escribe:

Clásica diferencial de los geómetras (clásica y analistas), no dudó en hablar de "infinitamente pequeños" cambios de $dx^i$ de la coordina $x^i$, así como Leibnitz había. Nadie quería admitir que esta era una tontería, porque los verdaderos resultados se han obtenido cuando estos infinitamente pequeñas cantidades fueron divididos en cada una de las otras (siempre que uno lo hizo de la manera correcta).

Finalmente se dio cuenta de que el más cercano se puede llegar a describir un infinitamente pequeño cambio es describir una dirección en la que esta se debe cambiar a ocurrir, es decir, un vector tangente. Desde $df$ es supone que el cambio infinitesimal de $f$ bajo un infinitesimal cambio de la punta, $df$ deben estar en función de este cambio, que significa que $df$ debe ser una función de los vectores de tangentes. El $dx^i$ de sí mismos, entonces se metamorfoseó en funciones, y se hizo evidente que deben distinguirse de los vectores de la tangente $\partial/\partial x^i$.

Una vez que esta realización se produjo, fue sólo una cuestión de hacer nuevos definiciones, que conserva la antigua notación, y esperando todo el mundo se ponga al día. En resumen, todas las nociones clásicas que implican infinitamente pequeño quantitites se convirtió en funciones en vectores tangente, como $df$, a excepción de los cocientes de las infinitamente pequeñas cantidades, que se convirtió en vectores tangente, como $dc/dt$.

Answer 2

La mayoría de los usos obvios de formas diferenciales están relacionadas con la integración. Son el lenguaje en el que expresamos Stokes teorema de, por ejemplo: cuando tienes una compacta orientable colector $M^n$ con límite, la integral de una $(n-1)$forma $\omega$ $\partial M$ es igual a la integral de $\mathrm{d}\omega$ $M$ (en particular, la integral de una forma exacta a través de una cerrada múltiple es siempre cero, como es la integral de una forma cerrada en la frontera).

Eso no es todo, por supuesto. Por ejemplo, cerrado/exacta de las formas que se mencionan a dar la de Rham cohomology, un importante invariante topológico. Hay más, pero para eso tendrás que cavar un poco más profundo.

Answer 3

Atengámonos a 1-formas en $M$ por la simplicidad. Si usted ya está convencido de la importancia de campos vectoriales en $M$, tengo buenas noticias para usted. Campos vectoriales y de 1-formas en dos objetos en un sentido, pero hay una buena razón para trabajar con 1-formas en lugar de campos vectoriales. Es decir, si uno tiene un suave mapa entre colectores $N\to M$, uno puede pull-back de una forma diferenciada de$M$$N$, pero uno no puede, en general, impulsar un campo de vectores en $N$ a un campo de vectores en $M$. Ciertamente, esta no es toda la historia, pero quizás en un principio. Lo que esto demuestra es que existe un adecuado functoriality de 1-formas que no existe, para campos vectoriales. Es por eso que a veces es más útil trabajar con 1-formas en lugar de campos vectoriales, aunque estas últimas son más accesibles de forma intuitiva.