¿Es$\tan^{-1}2$ un número irracional o un número racional? ¿Cómo mostrar eso?
¿O en general, cómo mostrar$\tan^{-1}3, \tan^{-1}4, \tan^{-1}5...$ es irracional o racional?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Argo
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Transformar esto en $\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Ahora, usted tiene una ecuación $$e^{ix}+e^{-ix}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$ o, con $z=e^{ix}$, $$z^2-\frac{2}{\sqrt{5}}z+1=0$$ Ahora, la anterior es una ecuación algebraica, por lo $z$, la solución de esta ecuación, se debe algebraicas. Por Lindemann-Weirstrass teorema, si $e^{ix}$ es algebraica, a continuación, $ix$ debe ser trascendental, excepto si $x=0$.
Por supuesto, $\tan^{-1}1 = \frac{\pi}{4}$ es también trascendental (y por lo tanto irracional). Si quieres demostrar que es un irracional múltiples de $\pi$, usted tiene que proceder de una forma un poco diferente.
Considere la posibilidad de una ecuación $z+z^{-1}=2a$, $|a|<1$, que tiene soluciones $$z=a\pm i\sqrt{1-a^2}$$ Ahora requerimos $z=e^{i\pi p/q}$. Plantear esto al poder de las $q$: $$e^{i\pi p}=\pm 1=(a\pm i\sqrt{1-a^2})^q$$ No debe ser de tal $q$, de modo que el lado derecho es un número entero ($\pm 1$). Si se le $a$, entonces usted puede comprobar que en cada caso particular. En general, son, básicamente, buscando las raíces de la unidad en términos de sus componentes cartesianas. Por ejemplo, puede establecer $a=\sqrt{n}/2$ y comprobar que $n$ esto tiene una solución para $q$.
