Eliminando el parámetro de 2 ecuaciones paramétricas.

Question

Me dan dos ecuaciones paramétricas

$ x= g\sin^2(t) - f\sin(t)\cos(t) $

$ y = f\cos^2(t) - g\sin(t)\cos(t) $

y tengo que eliminar el parámetro$t$.

Intenté tomar$\sin(t)$ común de la primera ecuación y$\cos(t)$ de la segunda, y los dividí para obtener$ x/y = -\tan(t) $ pero no pude proceder de allí.

Answer 1

Sugerencia: usar$\sin(2t)=2 \sin(t)\cos(t)$ y$\cos(2t)=2 \cos^2(t)-1=1-2\sin^2(2t)\,$: $$ fx + gy = fg - \ frac {f ^ 2 + g ^ 2} {2} \ sin (2t) \\ gx - fy = \ frac {g ^ 2-f ^ 2} {2} - \ frac {f ^ 2 + g ^ 2} {2} \ cos (2t) $$

Luego use$\sin^2(2t)+\cos^2(2t)=1$ para eliminar$t$ entre las dos ecuaciones.

Answer 2

\begin{align} \cos^2 t & = \frac 1 2 + \frac 1 2 \cos(2t) \\[10pt] \sin^2 t & = \frac 1 2 - \frac 1 2 \cos(2t) \\[10pt] \sin(t) \cos(t) & = \frac 1 2 \sin(2t) \\[10pt] x & = g\sin^2 t - f\sin(t) \cos(t) = g\left( \frac 1 2 - \frac 1 2\cos(2t) \right) - f \cdot \frac 1 2 \sin(2t) \\[10pt] y & = f \cos^2 t - g \sin(t)\cos(t) = f\left( \frac 1 2 + \frac 1 2 \cos(2t) \right) - g\cdot \frac 1 2 \sin(2t) \\[10pt] fx - gy & = -fg\cos(2t) + \frac{g^2- f^2} 2 \sin(2t) \\[10pt] gx - fy & = \frac{g^2-f^2} 2 - \frac {g^2+f^2} 2 \cos(2t) \\[10pt] \sin(2t) & = \cdots \tag A \\[10pt] \cos(2t) & = \cdots \tag B \\[10pt] \text{Therefore } & \left( \cdots \right)^2 + \left( \cdots \right)^2 = 1. \text{ (Here insert the expressions in lines (A) and (B).)} \end{align}