(Esto no es una respuesta, pero un comentario largo.)
Este examen es un ejemplo de lo que llamamos en álgebra lineal literatura un lineal salvavidas problema. No voy a responder a la pregunta de otra manera, pero me gustaría señalar que el enfoque de solución descritos en el documento de examen realidad ha demostrado varios trucos que son bastante comunes en la solución lineal salvavidas problemas.
De todos estos trucos, la más importante es la siguiente:
En lugar de considerar cómo una matriz se transforma, considere cómo un conjunto de matrices se transforma. Caracterizan a cada matriz de intereses de los miembros de algunos grupos que disfrutar de algunas buenas propiedades geométricas, algebraicas, topológicos, etc.) propiedades, y muestran que estos conjuntos son conservados por el operador lineal.
La exacta de la matriz establece que estudiamos son depende de cada caso. A veces son la matriz de subespacios, a veces órbitas de acciones del grupo, a veces tangente espacios, a veces en puntos extremos de los conjuntos convexos y a veces incluso las intersecciones de los diferentes conjuntos de matrices. En su caso, el documento de examen considera dos tipos de matriz de lápices:
- Matriz de lápices de la forma $\{M+\lambda A:\ \lambda\in\mathbb C\}$ donde $M+\lambda A$ es siempre nonsingular. Tal conjunto existe si y sólo si $A$ es singular. Si $f$ conserva nonsingular matrices, $f$ también se conserva este tipo de conjuntos. De ello se desprende que $f$ conserva también de singular matrices.
- Matriz de lápices de la forma $\{N+\lambda A:\ \lambda\in\mathbb C\}$ donde $A$ es singular y $N+\lambda A$ es singular por exactamente $r$ distintos valores de $\lambda$. Dicha matriz lápiz existe si y sólo si $\operatorname{rank}(A)\ge r$. Como $f$ preserva tanto singular y nonsingular matrices, también debe preservar este tipo de conjuntos. Por lo tanto tenemos $\operatorname{rank}(f(A))\ge\operatorname{rank}(A)$.
La conclusión de (1) se muestra otro truco:
Si $f$ conserva un cierto conjunto de matrices, es útil a menudo (pero no siempre es posible) para demostrar que $f$ también conserva el conjunto del complemento.
En tu caso, dado que el $f$ conserva nonsingular matrices, también hemos de probar que $f$ conserva singular de las matrices. La última propiedad se emplea para establecer (2).
Mientras que el documento de examen no se detallan el resto de los detalles, lo que viene después (2) es otro truco útil:
Si es posible, a menudo es útil para demostrar que el lineal salvavidas es bijective y su inversa también conserva la propiedad en cuestión.
En su caso, tener (2), que inmediatamente $f$ es bijective. Desde $f$ preserva tanto singular y nonsingular matrices, su inverso $f^{-1}$ también debe preservar tanto singular y nonsingular matrices. Así, mediante la aplicación de (2) a $f^{-1}$, obtenemos también se $\operatorname{rank}(f^{-1}(A))\ge\operatorname{rank}(A)$. Ahora la conclusión se deduce de las dos rango de las desigualdades.
Ciertamente, los tres mencionados formas de pensar no siempre son aplicables, pero más a menudo que no, son aplicados con éxito en la literatura.
