¿Cuál es la solución para estas dos igualdades$ x = \lambda(Ax) $ y$ x^TAx=1 $?

Question

Sea $A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ una matriz simétrica con dos valores propios positivos distintos y otros valores propios de $A$ no son positivos.

¿Cuál es la solución para $x$ cuando $\lambda >0$

PS

Answer 1

Supongamos que $x=\lambda Ax$, luego $$\lambda Ax-x=0$$ $$\lambda(Ax-\lambda^{-1}x)=0$$ $$(A-\lambda^{-1}I)x=0$$ Por lo $x$ es un autovector con autovalor $\lambda^{-1}>0$. Por otra parte, $$x^T Ax=\lambda^{-1}x^T x=1 \Rightarrow x^T x=||x||^2=\lambda$$

De manera que cualquier solución, $x$, debe ser vectores propios (positivo) autovalor $\lambda^{-1}$ y norma $||x||=\sqrt{\lambda}$. Si la unidad de vectores propios de a$A$ se $v_1$ e $v_2$ con la correspondiente positivo de autovalores $\mu_1$ e $\mu_2$, entonces las soluciones al sistema de ecuaciones son: $$(x,\lambda) \in \{(\sqrt{\mu_1^{-1}}v_1,\mu_1^{-1}),(\sqrt{\mu_2^{-1}}v_1,\mu_2^{-1}) \}$$