Método de aproximación de pruebas combinatorias.

Question

Estoy luchando sobre cómo abordar problemas de pruebas combinatorias. La identidad a probar es$$\binom{10}{5} = \binom{8}{3} + \binom{8}{4} +\binom{8}{4} + \binom{8}{5}

Puedo probar esto algebraicamente, pero la pregunta dice que es combinatoria. También podría usar la identidad de los pascales para resolver el RHS al LHS.

¿Cómo describiría esto combinatoriamente? Cualquier orientación sería muy apreciada.

Answer 1

Piense en$\binom{10}{5}$ como la cantidad de maneras de elegir un equipo de$5$ niños de un grupo de$10$.

Ahora supongamos que tenemos un grupo de$8$ chicas y$2$ chicos, Matthew y Paul. $\binom{8}{5}$ cuenta cuántos equipos tienen$5$ chicas. $\binom{8}{4}$ cuenta cuántos equipos tienen$4$ chicas y Matthew. $\binom{8}{4}$ cuenta cuántos equipos tienen$4$ chicas y Paul. $\binom{8}{3}$ cuenta cuántos equipos tienen$3$ chicas y ambos, Matthew y Paul.

Answer 2

Hay algunas interpretaciones combinatorias estándar de$\binom nk$. Intentemos con uno: supongamos que$\binom{10}5$ se refiere a la cantidad de maneras de elegir$5$ objetos entre$10$.

El lado derecho habla de escoger entre$8$. Para coincidir con el lado izquierdo, supongamos que tenemos$8$ objetos más$2$ objetos especiales, y estamos buscando la cantidad de formas para elegir un total de$5$ de entre ese grupo. ¿Puedes ver cómo obtienes la expresión de la derecha?