Me gustaría resolver la siguiente ecuación diophantine : $$3^{4a+1} = 2b^2+1$$
Sin embargo, no sé cómo proceder.
Lo que he encontrado hasta ahora es sólo que $$(a, b) = (0,1)\ ,\ (1,11)$$ parecen ser las únicas soluciones...
Alguna idea ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta pregunta fue formulada por mí en el foro en ruso aquí-1 y aquí-2 en relación con la generalización del problema de la identificación de la no-estándar de objetos - la falsificación de monedas (ver aquí-3). El límite superior de la longitud de este algoritmo corresponde a la de Hamming límite para ternario códigos y tiene la forma:
$1+ 2C_n^1+2^2C_n^2+…+2^t C_n^t=3^m,$
donde $t$ es el máximo número de posiciones en las que los errores son corregidos por el código. Para $t = 2$ esta igualdad se convierte en
$1+2n^2=3^m.$
Se sabe que esta ecuación tiene soluciones: $(n, m) = (1,1), (2,2), (11,5)$, de los cuales sólo uno $n = 11, m = 5$ tiene un valor en la teoría de la codificación y el problema aquí [- 3]. En este caso, los parámetros de $n = 11, m = 5, t = 2$, un conocido perfecto ternario código de Golay (Wirtakallio-Golay código), y la perfecta ponderación de los algoritmos, la identificación de hasta 2 falsificación de monedas ftom 11, se construyen. En el foro, un destacado matemático (Rusia, apodo falcao) escribió: "Para el caso t = 2, la solución de la ecuación de $1 + 2n ^ 2 = 3 ^ m$ fue descrito por Nagel en 1923. Cierto, no he podido encontrar el texto del artículo o de las pruebas de la evidencia en la Web." Por lo tanto, él dio su brillante prueba de la no existencia de otra (diferente de la anterior) de las soluciones de esta ecuación.
