¿Las soluciones de la ecuación unitaria son densas en los números complejos?

Question

Sea $S\subset \overline{\mathbf{Q}}$ sea el conjunto de soluciones de la ecuación unitaria, es decir, $S$ consiste en números enteros algebraicos $a$ tal que $a$ y $1-a$ son unidades en el anillo de los enteros algebraicos.

Sea $U$ sea un subconjunto abierto no vacío en la topología euclidiana sobre $\mathbf{C}$ .

En $U$ contienen infinitas soluciones a la ecuación unitaria. Es decir, ¿la intersección $S\cap U$ contienen infinitos elementos?

Como no obtuve respuesta, también hice esta pregunta en Mathoverflow.

Answer 1

Esta pregunta se ha formulado y respondido en MathOverflow . He replicado la respuesta aceptada por user2035 a continuación.

Si $f\in\mathbf Z[X]$ es cualquier polinomio mónico, las soluciones de $x(1-x)\cdot f(x)=1$ son soluciones de la ecuación unitaria. Tomemos $y\in U\setminus\mathbf R$ . Dado que la sustitución $z\mapsto1/(1-z)$ deja $S$ invariante, podemos suponer $|y|>1$ . Para $n$ dado, elija $u,v\in\mathbf R$ tal que $y(1-y)\cdot(y^n+uy+v)=1$ . Ahora bien $n$ es suficientemente grande, el teorema de Rouché muestra que el número de soluciones en una vecindad adecuada de $y$ en $U$ no cambia si sustituimos $u$ y $v$ por los enteros más próximos. Por lo tanto, $S\cap U$ no es vacío. Dado que $U$ era arbitraria, esto implica que $S\cap U$ es infinita.