Estoy pensando en crear un estándar de la teoría de conjuntos con urelements que tiene una cierta restricción sobre un tipo específico de conjuntos que ZF teoría de conjuntos no tiene. De manera informal, me gustaría que para el conjunto de todos los elementos para ser "igualmente anidada" por ejemplo, $\{a, b\}$ $\{\{a\}, \{b\}\}$ ambos conjuntos válidos en esta teoría de conjuntos, sino $\{a, \{b\}\}$ no lo haría.
¿Cómo se podía formalizar esto?
En lo que sigue, voy a tratar de establecer el comienzo de una teoría de la coincidencia de sus intuiciones.
Primero vamos a conseguir el fácil axiomas abajo. Es evidente que queremos extensionality - dos conjuntos son idénticos si tienen los mismos elementos - excepto modificado para permitir urelements. Hay varias maneras de hacer esto, pero creo que el más limpio es para trabajar en una de dos clasificados de idiomas, con una especie de ser para los conjuntos y el otro para urelements; y tenemos nuestro idioma contener, además de la ordenación de los símbolos, sólo de la relación "$\in$." Luego tenemos los axiomas "Si $x\in y$, $y$ es un conjunto", y "Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos;" vamos a llamar a estos dos axiomas juntos Extensionality.
El trozo interesante, por supuesto, es la captura de la misma a nivel de restricción. Creo que la manera más fácil de formalizar "a cada conjunto es equi-anidada" es la siguiente:
Decir que $x$ es una profundidad de-$0$ elemento $a$ si $x= a$. Esto es un poco de un abuso de la terminología, pero es muy útil a continuación.
Decir que $x$ es una profundidad de-$(n+1)$ elemento $a$ si $x\in y$ para algunos de profundidad-$n$ elemento $a$.
Será útil para escribir "$x\in_n y$ "" $x$ es una profundidad de-$n$ elemento $y$;" tenga en cuenta que para cada una de las $n$, esto es una abreviatura de una fórmula en el lenguaje habitual de la teoría de conjuntos con set y urelement tipo, así que no estamos añadiendo a la lengua mediante el uso de estos símbolos.
A continuación, para cada una de las $m, n\in\mathbb{N}$, dejamos $\psi_{m, n}$ ser la frase
Para todos los conjuntos de $x$$y$,$x\in_m y\implies x\not\in_ny$.
(Tenga en cuenta que por contrapositivo, $\varphi_{m, n}\equiv\varphi_{n, m}$.) Estos son la Nivelación de los axiomas.
La conjunción de las sentencias $\varphi_{m, n}$ evita que el tipo de "nivel de romper" el comportamiento que usted quiere evitar - sin tener que expresamente establece los tipos. Por ejemplo, la sentencia de $\psi_{0, 1}$ previene $a=\{a\}$ (y previene $a\in a$ en general). Y establece como $\{a, \{a, b\}\}$ son descartadas por $\psi_{1,2}$.
Bien, ahora tenemos una "primera aproximación" de la teoría de conjuntos queremos: vamos a $T_0$ consta de extensionality + todos los nivelación de los axiomas.
Vamos a pensar un poco acerca de cómo la teoría de que estamos construyendo se va de aquí.
Una cosa natural que queremos en este punto es el concepto de "mismo nivel", aunque hemos evitado deliberadamente dar establece explícita de los niveles, todavía queremos ser capaces de hablar acerca de los conjuntos de un mismo nivel de un dado. Hay dos maneras naturales para ello.
Podemos ver hasta un nivel: escribimos $a\sim_\uparrow b$ ("$a$ y $b$ tienen el mismo nivel desde arriba") si hay alguna $x$$a, b\in x$.
Podemos mirar hacia abajo de un nivel: escribimos $a\sim_{\downarrow } b$ ("$a$ y $b$ tienen el mismo nivel desde abajo") si para todas las $x\in a$ $y\in b$ hay algo de $c$$x, y\in c$.
Podemos definir otras nociones de "mismo nivel", dijo el de arriba o abajo, pero no parece ser una buena razón para hacerlo en el momento.
Cada uno de estos sugieren que el correspondiente esquema de comprensión: para cada fórmula $\varphi(x; \overline{y})$, tenemos los axiomas $$(*)_\varphi^\uparrow\quad\forall a, \overline{b}\exists c\forall d(d\in c\iff \varphi(d, \overline{b})\wedge a\sim_\uparrow d)],$$ and $$(*)_\varphi^\downarrow \quad\forall a, \overline{b}\exists c\forall d(d\in c\iff \varphi(d, \overline{b})\wedge a\sim_\downarrow d)].$$
Cada esquema es ser interpretadas de la misma manera: como decir que podemos formar el conjunto de todas las cosas de un determinado nivel de satisfacción de primer orden de la propiedad. La diferencia está en cómo se interpretan de "nivel". Específicamente, el punto de separación es urelements.
Tenemos que tomar una decisión: ¿cómo queremos tratar urelements? Específicamente, qué queremos que todos urelements a tener el mismo "nivel" o queremos permitir urelements tener diferentes "niveles?" El punto es que si $u, v$ son urelements, luego nos trivialmente ha $u\sim_\downarrow v$ (ya que no tiene ninguno de los elementos en todos) pero puede que no tengamos $u\sim_\uparrow v$.
Pensando en esto, nos lleva a dos teorías:
Si queremos que todos los urelements a estar al mismo nivel, entonces es natural que, en realidad, la demanda que $\forall a, b(a\sim_\uparrow b\iff a\sim\downarrow b)$. Teniendo esto, la teoría de la $T_0$, y ambos (o, equivalentemente, ya sea a) la comprensión de los esquemas que nos da la teoría de la $T_{flat}$.
Si queremos permitir urelements a ser en diferentes niveles, y que claramente no desea permitir que el $(*)^\downarrow$-esquema, ya que nos permitirá formar el conjunto de todos los urelements. Así, para este propósito, queremos que la teoría de la $T_0$ y sólo el $(*)^\uparrow$-esquema; el resultado de la teoría de la es $T_{bumpy}$.
A partir de ahora vamos a escribir "$\sim$""$\sim_\uparrow$, " el punto es que en $T_{flat}$ son iguales y en $T_{bumpy}$ no estamos directamente interesados en la $\sim_\downarrow$.
Claramente $T_{flat}$ implica $T_{bumpy}$. Sospecho, sin embargo, que $T_{bumpy}$ será en última instancia la "derecha".
Ahora vamos a hacer un balance y ver lo que tenemos hasta ahora!
¿Qué podemos probar? Un sencillo teorema de $T_\uparrow$ (y, por tanto, de $T_\downarrow$ así) es que no existe un "nivel superior": para cada una de las $a$ no es un porcentaje ( $b$ $a\in b$ ; de hecho, el conjunto de $\{a\}$ sí existe. Aplicamos la Nivelación a la fórmula "$x=a$": a continuación, $a$ es la única cosa con el mismo nivel de $a$ que es igual a $a$, por lo que esto nos da $\{a\}$.
Otro resultado fácil en ambas teorías es que el $\sim$ es conservado por el conjunto de la formación: si $a,b$ son conjuntos, donde cada elemento de a $a$ $\sim$ cada elemento de a $b$ (equivalentemente, podemos reemplazar con "todo" con "algunos"), a continuación,$a\sim b$, e $\{a, b\}$ existe. Esto nos permite construir Kuratowski pares ordenados: si $a\sim b$ entonces el conjunto $\{\{a\}, \{a, b\}\}$ existe.
Dicho esto, no podemos probar mucho: la estructura compuesta sólo de $\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, ...$ es un modelo de $T_\uparrow$$T_\downarrow$, por lo que estos son extremadamente débiles axioma de sistemas si no nos incorporar urelements. De hecho, la única variedad que vamos a ser capaces de ponerse en el "puro" (= urelement libre) es mediante el uso de illfounded conjuntos! Así que esta es una teoría que funciona mejor en la presencia adicional de un antifoundation axioma adecuadamente formulado para jugar bien con la nivelación de los axiomas. Y como están las cosas, la situación no cambia demasiado cuando traemos urelements.
Así que la próxima cosa a hacer es pensar acerca de la adición de "cosas" a nuestra teoría. Existen tres tipos de "cosas" que se me ocurren:
A pesar de la bien fundada pura parte de cualquier modelo de estas teorías es, básicamente, trivial, axiomas adicionales podrían hacer cosas mucho más interesantes en el illfounded puro (y de lo impuro) parte! Por ejemplo, una opción natural es una versión de powerset: que, dado un conjunto $a$, el conjunto de no vacía de subconjuntos de a $a$ es de nuevo un conjunto (necesitamos vacío porque el emptyset tiene "nivel cero").
Nos podría dar la urelements estructura mediante la expansión de la lengua para incluir la función y relación de los símbolos en la urelements. Así, por ejemplo, podríamos tener el conjunto de urelements formar un grupo. Esta idea de la "construcción de una teoría de conjuntos en la parte superior de una estructura" es común en la teoría de conjuntos con urelement, especialmente en los de mayor computabilidad teoría en que a menudo nos fijamos en una particular familia de conjuntos integrados "en la parte superior de" una estructura dada.
El poder de los conjuntos en ZFC viene de su versatilidad, y esta versatilidad se pueden perder cuando se nos de la fuerza estrictas tipo de acuerdo como lo hemos hecho aquí. Por eso es razonable caída de la ZFC-la intuición de que "los conjuntos son suficientes", y añadir algunas nuevas clases! Por ejemplo, tal vez desee considerar secuencias de objetos de la posibilidad de diferentes "niveles". En este caso, estamos viendo una secuencia como un tipo diferente de "cosa" de un conjunto. A partir de una ZFC punto de vista que se siente extraño, pero aquí las cosas son diferentes, de modo que tal vez esto es algo que queremos hacer!
Así que hay un montón de direcciones podemos ir. Pero voy a parar aquí por ahora: aunque ciertamente no tienen un conjunto satisfactorio teoría, sin embargo, tenemos una salida decente, hacia la construcción en esa dirección.
Un enfoque puede ser la introducción de la relación binaria símbolo $\prec$ (lo que significa tener nivel de anidamiento menor o igual que). A continuación, puede agregar axiomas que clavo el significado de esto:
$$\forall A\forall B:(A\prec B) \leftrightarrow (\forall \xi: \xi\notin A \land \xi\notin B) \lor (\exists\beta\in B\forall\alpha\in A:\alpha\prec\beta)$$
Que es el nivel de anidamiento de $A$ no es mayor que la de $B$ si la mayoría de los elemento anidado de $A$ es no tiene mayor nivel de anidamiento de al menos un elemento anidado de $B$.
A continuación, podemos formular el equi-anidada requisito:
$$\forall A \forall \xi,\eta\in A:\xi\prec \eta \land \eta\prec\xi$$
También necesitamos adaptar el axioma de extensionality para hacer frente con ur-elementos:
$$\forall A\forall B: (\forall \xi: \xi\in A\leftrightarrow \xi\in B) \leftrightarrow A=B \lor (\forall\xi: \xi\notin A\land\xi\notin B)$$
Aparte de esto tenemos que reformular algunas de las normales axiomas para prevenir la formación de no equinested conjuntos. Necesitamos reformular el axioma de emparejamiento, el esquema de sustitución de la prohibición. También tenemos que hacer algo sobre el axioma del infinito desde la normal aproach es construir el conjunto infinito utilizando diferente conjuntos anidados.
Un enfoque de endeudamiento de Peanno del axiomas sería postular un conjunto no vacío de ur-los elementos con una inyección a un subconjunto de sí mismo.
(*) Yo uso aquí de la construcción que permiten la relación de pertenencia en ur de los elementos, que es un ur-el elemento es un elemento $U$ tal que $\forall x:x\notin U$
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