Si dos medidas de Borel coinciden en abrir todos los conjuntos son iguales?

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico y deje $\mathcal{B}(X)$ ser su Borel $\sigma$-álgebra. Es decir, $\mathcal{B}(X)$ es el más pequeño de $\sigma$-álgebra en $X$ que contiene todos los bloques abiertos. Deje $\mu, \eta : \mathcal{B}(X) \to [0,\infty]$ dos medidas de Borel.

Pregunta: Si $\mu(U) = \eta(U)$ abierto para todos los conjuntos de $U \subset X$, no se sigue necesariamente que $\mu = \eta$?

Sospecho que la respuesta es "no". Obviamente, esto sería suficiente para probar

$\{ S : \mu(S)=\eta(S)\}$ $\sigma$- álgebra,

pero no veo por qué debería contener. En general, los conjuntos de dos medidas de acuerdo no parece ser un $\sigma$-álgebra. Por ejemplo, considere dos trivial medidas en $2^X$, una de las cuales asigna cero medir a todos los conjuntos, uno que asigna medida infinita para todos los conjuntos no vacíos. Ellos están de acuerdo sólo en el conjunto vacío, que no es un $\sigma$-álgebra.

Answer 1

Su conjetura es correcta : la respuesta es "No" en general;

Por ejemplo, supongamos $\mu_1$ ser el recuento medida en $\mathbb R$, y deje $\mu_2$ ser la medida definidos por $\mu_2(\emptyset)=0$ $\mu_2(A)=\infty$ si $A\neq\emptyset$.

Por otro lado, si el espacio de $X$ es la unión de un aumento de la secuencia de bloques abiertos en los que las dos medidas son finitos, la respuesta es "Sí". Esto se desprende de la monotonía de la clase teorema.

Answer 2

Aquí es una alternativa, tal vez un poco más fácil, prueba el uso de Dynkin del π−λπ−λ Teorema: http://math.stackexchange.com/a/813414/283164 Aunque es esbozado por $\mathbb R$, se trabaja más en general.

Por CIERTO, Lema 7.1.2. (p. 68) de la Teoría de la Medida, volumen 1, Vladimir I. Bogachev:
Si dos finito firmado medidas de Borel en cualquier espacio topológico coinciden en todos los bloques abiertos, coinciden en todos los conjuntos de Borel.

Su simple prueba de los usos:
Lema 1.9.4. Si dos medidas de probabilidad en un espacio medible $(X,A)$ coinciden en algunos de la clase $E\subset A$ que es cerrado con respecto a lo finito intersecciones, entonces ellos coinciden en la $\sigma$-álgebra generada por $E$.

Enlace a Lexema 7.1.2

Answer 3

Sugerencia: ¿cuál es la recopilación de todo el conjunto, donde el 2 medidas de acuerdo? Hace que la colección de forma monótona la clase? Qué contiene todo conjunto abierto?