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Demostrar que cyca2+1(b+1)21815

Para a,b,c>0 satisfacer ab+bc+ca43. Demostrar que a2+1(b+1)2+b2+1(c+1)2+c2+1(a+1)21815


Yo: Por Minkowski:

LHS(a+b+c)2+(1a+1+1b+1+1c+1)2

Tenemos: (a+b+c)23(ab+bc+ca)=3.43=4

Y por C-S: (1a+1+1b+1+1c+1)2(9a+b+c+3)2

No puedo continuar, me ayudan

4voto

Michael Rozenberg Puntos 677

Vamos a=2x3, b=2y3 y c=2z3.

Por lo tanto, la condición de da xy+xz+yz3 y tenemos que demostrar que cyc4x29+9(2y+3)21815. Ahora, a través de la C-S cyc4x29+9(2y+3)2=15181cyc(49+925)(4x29+9(2y+3)2) 15181cyc(4x9+95(2y+3)). Por lo tanto, queda por demostrar que 15181cyc(4x9+95(2y+3))1815 o 20(x+y+z)+81(12x+3+12y+3+12z+3)5435. Ahora, vamos a x+y+z=3u xy+xz+yz=3v2 donde v>0.

Por lo tanto, uv1 y por la C-S obtenemos: 20(x+y+z)+81(12x+3+12y+3+12z+3)5435 20(x+y+z)+81(1+1+1)2cyc(2x+3)5435=60u+7296u+95435= =3(20u+812u+31815)=6(u1)(100u+69)5(2u+3)0. Hecho!

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