Es cierto que $\lim_{x\to a}f(x)=0$ si y sólo si $\lim_{x\to a}|f(x)|=0$?

Question

Es cierto que $\lim_{x\to a}f(x)=0$ si y sólo si $\lim_{x\to a}|f(x)|=0$? Yo intuitivamente creo que esto es cierto, pero realmente ni idea de para demostrarlo. Me puede dar consejos?

Answer 1

Pista/Inicio: Vamos a $\epsilon > 0$, entonces por definición de límite $$\lim_{x \to a}f(x) = 0,$$ follows that there is some $\delta > 0$ such that for every $x$ in the domain of $f$ with $0<|x-a|< \delta$ tenemos $$|f(x)|=|f(x)-0|< \epsilon$$

Ahora, escribe la definición de $\lim_{x \to a}|f(x)| = 0$ a concluir.