$A$ es la suma de dos cuadrados enteros positivos?

Question

Si $x,y,z,w$ sea un número entero positivo, y tal $x^2+y^2$ es un número primo, y $A=\dfrac{w^2+z^2}{x^2+y^2}\in N^{+}$

demostrar que $A$ es la suma de dos cuadrados enteros positivos?

tal vez $$A=\dfrac{(w^2+z^2)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)}=\dfrac{(wx+zy)^2}{(x^2+y^2)^2}+\dfrac{(wy-xz)^2}{(x^2+y^2)^2}$$ Pero no puedo probar $\dfrac{wx+zy}{x^2+y^2},\dfrac{(wy-xz)}{x^2+y^2}\in Z$

Answer 1

Enfoque 1

En esta respuesta se demuestra que un número $n$ se puede escribir como la suma de dos cuadrados si y sólo si cada primo en la factorización de primos de $n$ que es $\equiv3\pmod4$ aparece con exponente par. Así, si $$\frac{w^2+z^2}{x^2+y^2}\in\mathbb{Z}$$ cada primo $\equiv3\pmod4$ en $w^2+z^2$ aparece con exponente par, y cada primo $\equiv3\pmod4$ en $x^2+y^2$ aparece con exponente par. Por lo tanto, cada primo $\equiv3\pmod4$ en el cociente debe aparecer con exponente par, y por tanto, el cociente puede escribirse como una suma de dos cuadrados.

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Enfoque 2

He aquí un enfoque alternativo utilizando el hecho de que $x^2+y^2$ se supone que es un primo.

Desde $x^2+y^2$ es un número primo, $x+iy$ y $x-iy$ son Primas gaussianas . Así, porque $$x+iy\mid(w+iz)(w-iz)$$ podemos elegir el signo de $z$ para que $x+iy\mid w+iz$ y luego $x-iy\mid w-iz$ también.

Entonces $$\frac{w+iz}{x+iy}=a+ib\qquad\text{and}\qquad\frac{w-iz}{x-iy}=a-ib$$ Así, $$\frac{w^2+z^2}{x^2+y^2}=\frac{w+iz}{x+iy}\frac{w-iz}{x-iy}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$$

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Confirmación de la hipótesis sobre las plazas

Obsérvese que en la última aproximación, tenemos que $$a+ib=\frac{w+iz}{x+iy}=\frac{(xw+yz)+i(xz-yw)}{x^2+y^2}$$ y por lo tanto, $$\frac{w^2+z^2}{x^2+y^2} =\left(\frac{xw+yz}{x^2+y^2}\right)^2+\left(\frac{xz-yw}{x^2+y^2}\right)^2$$ donde $$\frac{xw+yz}{x^2+y^2},\frac{xz-yw}{x^2+y^2}\in\mathbb{Z}$$