Sesgar las matrices de generar todo?

Question

(Esta es una reformulación de mi pregunta anterior con un poco menos de la notación y la teoría.)

Deje $K$ ser un campo de característica cero. Considerar el álgebra matricial $A = M_n(K)$, y vamos a $$S = \{X\in A\mid X^T = -X\}$$ el conjunto de sesgar las matrices en $A$. Qué $S$ genera $A$ como un álgebra con unidad?

Es obviamente falso si $n = 2$, pero no es cierto para $n\ge 3$ o incluso mayor $n$?

Answer 1

Deje $e_1,\ldots,e_n$ ser la base canónica de $K^{n}$ (son vectores columna). Observe que $\{e_{i}e_j^t-e_je_i^t,\ 1\leq i,j\leq n\}$ genera el subespacio de sesgar matrices simétricas.

Ahora $(e_{i}e_j^t-e_je_i^t)(e_{j}e_i^t-e_ie_j^t)=e_{i}e_i^t+e_je_j^t$ y el conjunto de $\{e_{i}e_i^t+e_je_j^t,\ 1\leq i,j\leq n\}$ genera el subespacio de la diagonal de las matrices de al $n\geq 3$.

Finalmente,$(e_{i}e_i^t-e_je_j^t)(e_{i}e_j^t-e_je_i^t)=e_{i}e_j^t+e_je_i^t$. Ahora el conjunto $\{e_{i}e_j^t+e_je_i^t,\ 1\leq i,j\leq n\}$ genera el subespacio de las matrices simétricas.

Por lo que el álgebra generada por el sesgo de simetría de las matrices es $M_n(K)$.